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Die Elemente der sog. Wahrscheinlichkeitsrechnung. —

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looteryen en interest. Amsterdam 1716 in 4.“, und damit auch sein Verhältniszu den drei besprochenen Werken, nicht näher bekannt geworden ist.

50 . Einige weitere Entwicklungen. — Haben zwei voneinander unabhängige Ereignisse die mathematischen Wahrschein-lichkeiten p:m und q:n, so kann offenbar jeder der p oder m Fälledes ersten mit jedem der q oder n Fälle des zweiten Zusammen-treffen, so dass p . q p q

w = ----- = — X ~ 1

wird, oder „die Wahrscheinlichkeit des Zusammentreffens oder derAufeinanderfolge zweier von einander unabhängiger Ereignisse gleichdem Produkte ihrer Wahrscheinlichkeiten“ ist“. — Sind die beidenEreignisse in der Weise von einander abhängig, dass das Eintreffendes einen das andere ausschliesst, so ist die Wahrscheinlichkeit,dass das eine oder das andere eintrifft, offenbar

w = -P- + 3'

m n

Und diese Summe wird sogar zur Einheit, wenn das Nichteintreffendes einen das Eintreffen des andern bedingt, oder wenn die beidenEreignisse, wie man sagt, konträr sind 6 . — Schliessen sich dieLuiden Ereignisse nicht aus, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass heizwei Versuchen nur ihre konträren Ereignisse eintreffen, nach 1gleich (1 — p : m) • (1 — q:n), also die Wahrscheinlichkeit, dassWenigstens das eine der beiden Ereignisse selbst eintrifft

w = l-(l-JL + .SL-l-l

Wo das subtraktive Glied offenbar die Doppeltrechnung der Fällebeseitigt, in welchen beide Ereignisse gleichzeitig auftreten, unddaher (wie in 2') verschwindet, wenn ein solches Zusammentreffengur nicht Vorkommen kann®. — Unter relativer Wahrscheinlichkeit,dass ein gewisses Ereignis eher als ein anderes eintreffe, hat manden Quotienten zu verstehen, welchen man erhält, wenn man dessena bsolute Wahrscheinlichkeit durch die Summe der absoluten Wahr-scheinlichkeiten beider Ereignisse teilt'*. — Hat man m Urnen,deren erste pj weisse, q, schwarze, etc., im ganzen n, Kugeln, —die zweite p 2 weisse, q ä schwarze, etc., im ganzen n 2 Kugeln, —e 4c., enthält, und zieht aus jeder Urne eine Kugel, so kann jededer n, mit jeder der n 2 , etc., Zusammentreffen, und man wird daherdie Anzahl aller möglichen Fälle erhalten, wenn man das Produkt

n i • n, • ■ ■ = (p, + q, H-) ■ (p* + q* H-) • • • bildet. Ist p, =

Pa = • • ■ — p, q, = q 2 = • • • = q, etc., und p -f q 4-- n, so wird

s °mit unter Anwendung des polynomischen Lehrsatzes (35)