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— Einige Vorkenntnisse aus der Arithmetik. —

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n"' = (p-|-q+ ■■■)'"==■■ 2

1 . 2.3

«. 1 . 2 .../?

wo a + /?~j=m ist. In dieser Formel zählt offenbar das unterdem Summenzeichen stehende allgemeine Glied die Chancen, welcheman hat, aus den m Urnen a weisse, ß schwarze, etc., Kugelnzu ziehen, — also ist, da das ganze n" 1 alle überhaupt möglichenFälle zählt,

1.2.3 ... m

1 . 27 .. «. 1 .2 ... ß..

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die Wahrscheinlichkeit, jenes Ziel wirklich zu erreichen. Natürlichbleibt dieselbe Formel auch unverändert bestehen, wenn man nurüber Eine Urne verfügt und aus dieser successive m mal eine Kugelherausholt, sobald man nur nach jedem Zuge die Kugel wiederhineinwirft und mit den übrigen mischt, — ferner in dem Falle,wo man statt Kugeln ein oder mehrere Würfel, und statt der Urneeinen Würfelbecher hat, — und auch noch in andern verwandtenFällen, so dass sie zur Lösung der verschiedensten Aufgabendienen kann e .

fu SO: fi. So z. B. ist also die Wahrscheinlichkeit, mit einem richtigenWürfel zweimal nach einander dieselbe Zahl oder mit zwei Würfeln einensog. Pasch (Puff, Daus, doublet) zu werfen, '/ 6 x ‘/ 6 = 0,0278, — diejenige,denselben Wurf dreimal nach einander zu werfen, (</ 6 ) 3 = 0,0046, — etc. Beidem früher (49) benutzten Würfel, der für 3 die Wahrscheinlichkeit 0,1588 < */ 6und für 6 die Wahrscheinlichkeit 0,1711 >y 6 ergeben hatte, erhielt ich direktaus den Versuchen ganz entsprechend für 3: 223 < 278 und 25 <46,dagegen für 6: 314 > 278 und 60 > 16. Als extremer Fall ist zu erwähnen,dass es unter den 20000 Würfen doch Ein Mal vorkain, dass dieselbe Zahl(und zwar gerade die mit der kleinsten Wahrscheinlichkeit behaftete 4) volle7 mal hinter einander erschien, was mich wegen (y 6 ) 7 = 1/279936 nicht wenigfrappierte. — b. So z. B. ist nach 2‘ die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel1 oder 2 zu werfen, gleich '/„ -f % — %, — also die Wahrscheinlichkeit, keinevon beiden Zahlen zu werfen, gleich 4 — 2 /„ = 4 / fi , — daher nach 1 die Wahr-scheinlichkeit, auch bei zwei Würfen oder mit zwei Würfeln keine derselbenzu erhalten, gleich 4 / 6 x 4 / ß = l6 / 36 , — folglich endlich die Wahrscheinlichkeit,,wenigstens Eine derselben zu werfen, gleich 1 — lc / 36 = 2 % 6 . — c. So z. B.ist nach 2" die Wahrscheinlichkeit, beim Wurfe mit zwei Würfeln 1 wenigstenseinmal zu werfen, gleich y s -f */„ — y 36 = "/ 3# , und in der Tliat giebt es liiefürdie 11 günstigen Fälle: 1 - 1, 1-2, 2-1, 1-3, 3-1, 1-4, 4-1, 1-5, 5-1,1-6, 6-1. Für 2 kommen dann aber, da 1-2 und 2-1 schon gezählt sind,nur 9 neue Fälle hinzu, so dass die Wahrscheinlichkeit, wenigstens eine derbeiden Zahlen 1 und 2 zu werfen, wieder "/ 36 + 9 / 36 = 2 "/ 36 wird. — d. Vonden mit zwei Würfeln möglichen 36 Würfen geben 6 (1-6, 2-5, 3-4, 4 • 3»5-2, 6-1) je 7 Augen, dagegen nur 3 (1-3, 2-2, 3 • 1) je 4 Augen; es sindalso von 9 Chancen volle 6 für 7 günstig, und es ist somit die relative Wahr-scheinlichkeit, eher 7 als 4 Augen zu werfen, gleich % = 0,667, womit dieErfahrung in schönster Weise übereinstimmt, wie die Tafel