50
125
— Einige weitere Entwicklungen. —
Aiioen
100
1000
10000
o
2
23
241
3
5
71
539
4
4
80
817
5
15
107
1083
6
15
130
1415
7
21
175
1682
8
18
141
1440
9
7
106
1120
10
8
95
824
11
3
50
570
12
2
22
269
Theoretisch auf
100000
Chancen
100000
2455
l
2777,8
5656
2
5555,6
7884
3
8333,3
10842
4
11111,1
14113
5
13888,9
16673
6
16666,7
14176
5
13888,9
11187
4
11111,1
8418
3
8333,3
5928
2
6555,6
2668
1
2777,8
beweist, welche nach meiner Versuchsreihe von 1851 angiebt,, wie oft hein Versuchen jede Anzahl von Augen eintraf, und überdies zur Vergleichungdie den Chancen entsprechenden Vielfachen von 100000:36 = 2777,8 enthält.Nach dieser Tafel ergehen sich nun z. B. für die oben berechnete relativeWahrscheinlichkeit, eher 7 als 4 Augen zu werfen, successive die Erfahrungs-werte
21
21+4
= 0,840
175175 + 80'
- = 0,086
1682
1082 + 817 '
= 0,073
16073
16073 +7844 =
: 0,679
deren Folge ganz charakteristisch ist. — e. Sucht man z. B. die Wahrschein-lichkeit, mit einem Würfel in 6 Würfen alle möglichen 6 Würfe zu erhalten,so hat man in 4 die Werte m = 6, u — ß = ... = 1, p = q = ... = 1 und n -- 6einzusetzen, wofür w = 0,0154 folgt: Man kann also erwarten, unter 20000Versuchen etwa 308 mal alle 0 Würfe nacheinander zu werfen, und in derThat geschah es bei einer meiner Versuchsreihen 279 mal, bei einer andern314 mal. Dagegen ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei eine bestimmte Ord-nung, wie z. B. die Folge 1 ■ 2 • 3 • 4 ■ 6 • 6, eingehalten werde, da 0 Elemente720 Permutationen erlauben, noch 720 mal geringer, und es ist mir auch dieserFall unter 40000 Versuchen nie vorgekommen. — Sucht man dagegen dieWahrscheinlichkeit, jeden der 6 möglichen Würfe in 10 Würfen wenigstenseinmal zu erhalten, so hat man für m = 10 successive
5 4 14-1+14 1+1 4+241+141+1 3 + 2 + 141+1+1 3 + 2 + 2 + 1+H 1 24 2+ 2 + 2 +1 + 1
mit 6 30 15 60 15
Permutationeil einzusetzen, während n = 6 und p = q =-... = 1, und erhältsomit nach 4
w _ »! f 6 , 30 15 J50_ 15 ]
6 1 ' 1 I 6! ' 4! 2! 31 3! 3! 2! 2! ^ 2 ! 2! 2! 2! J
so dass auf die 20000 Versuche etwa 20000 X 0,272 = 5540 Erfolge zu er-warten sind, während ich in Wirklichkeit nach 49: c
279 + 745 + 1204 + 1456 + 1613 = 5317
Erfolge hatte. — Für die Wahrscheinlichkeit W h , dass ein Ereignis der Wahr-scheinlichkeit p : n = w unter m Fällen « = h mal auftrete, somit unter derkonträren Wahrscheinlichkeit q : n = 1 — w unter diesen m Fällen ß = m — h