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— Einige weitere Entwicklungen. —

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Ausstellung von 1883, wo auf 500000 Lose 5480 Gewinnste vorgesehen waren,mindestens 30 Nummern zum zweiten Mal gezogen und somit kassiert werden:Laut Protokoll über die Verlosung geschah es nun wirklich 37 mal. — DerKuriosität wegen mag noch das hei den Franzosen beliebte Wettspiel Passe-dixbehandelt werden, welches darin bestellt, dass ein Spieler gewinnt oder ver-liert, je nachdem er mit drei Würfeln mehr als 10 wirft oder nicht. Es lässtsich nämlich hei demselben zeigen, dass auch in der Wahrscheinlichkeits-rechnung zuweilen dem Fahrwege bequemere Fusswege substituiert werdenkönnen: Der Fahrweg besteht nämlich offenbar darin, dass man sich die sämt-lichen 28 Kombinationen 1 • 4 ■ 0, 1 • 5 • 5, 1 ■ 5 • 6, ..., G • 6 • G aufschreibt,Welche 11 und mehr Augen ergehen, für jede derselben die Anzahl der Per-mutationen ermittelt und so schliesslich findet, dass 108 günstige Fälle den63 = 210 möglichen Fällen gegenüberstehen; der Fussweg dagegen beruhtauf der einfachen Überlegung, dass bei drei Würfeln die Summe der ge-worfenen und der liegenden Augen immer gleich 21 ist, also notwendig jedergünstigen Chance auch eine ungünstige entspricht. Beide Wege ergehen somit% für die Wahrscheinlichkeit' des Gewinnens, und es ist das Passe-dix als einehrliches Spiel zu bezeichnen. — Zum Schlüsse komme ich, um auch noch einLeispiel von der sog. „geometrischen Wahrscheinlichkeit“ zu geben, auf dasberühmte Nadelproblem zu sprechen, mit welchem sich zuerst Buffon in seinemÜberhaupt bemerkenswerten, etwa 17G0 verfassten, aber erst 1777 in Vol. 4seines „Supplement ä l’histoire naturelle“ erschienenen „Essai d’arithmctiqueniorale“ befasst zu haben scheint: Zieht man nämlich auf einer Tafel, imAbstande a voneinander, eine beliebige Anzahl vonParallelen, so kann man nach der Wahrscheinlichkeitfragen, mit welcher eine auf die Tafel geworfeneNadel der Länge 2r<a eine der Parallelen kreuzenwird. Gesetzt nun, die Mitte der Nadel stehe vonder Parallelen I um y ab, so schneidet sie die I inallen Lagen, welche in die 4 Winkel <p fallen, wäh-rend sie im ganzen 2 tt Lagen annehmen kann; dabeiist q, = Aco (y: r) = f (y), und wechselt, da y von 0 bis r gehen kann, vonVa n bis 0. Es ist somit gegenüber einem Zusammentreffen mit I

r r

P‘ = 4 [f (0) + f (dy) + f (2dy) + . .. + f (r)j == 4jf (y) dy = ij<p ■ dy =

0 0

r 0 */ä n

— 4 [ q> • y J — 4 J y • d <p — 4 r J Co <p • d ip = 4 r S

o i/j n o

die Anzahl aller günstigen Fälle, während entsprechend p" = 4r die an IIgünstigen Fälle, und «.

q = 2n J*dy = 2an S

0

a lle möglichen Fälle zählt. Es ist also die mathematische Wahrscheinlichkeitdes Zusammentreffens

p' + p" 4r , 4r

w = - —— =- also 3i =- 9

q a ■ 3i a • w

80 dass man n, wenn w durch Versuche ermittelt ist, auf diese eigentümliche}^eise berechnen kann. Aus 50 Serien von je 100 Würfen, welche ich, nach■ledern Wurfe die Tafel etwas drehend, im Jahre 1850 (vgl. Bern . Mitth.) aus-Lihrte, erhielt ich w = 0,50G4 ± 0,0083, und somit nach 9, da r = 18""" und