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— Die sog Methode der kleinsten Quadrate. — ■ 131
5Ä. Die sog. Methode der kleinsten Quadrate. — Jededurch Beobachtung erhaltene Bestimmung kann man sich offenbareinerseits durch einen Punkt von bekannter, z. B. durch die dreirecht winkligen Coordinaten x, y, z gegebener Lage, und ihren Wertdurch ein ihm beigelegtes Gewicht p repräsentiert denken, — ander-seits aber auch nach dem Vorhergehenden als das arithmetischeMittel aus einer Gruppe von p gleichwertigen Beobachtungen. Hatntan mehrere solcher Bestimmungen oder Gruppen, so wird somitdas nach dem frühem Principe aus ihrer Gesamtheit berechneteEndergebnis durch einen Punkt der Coordinaten
X = A?— T = -^P-I Z = 1
2p 2p 2p
dargestellt werden, welcher offenbar (72) auch dem Punkte derMittlern Entfernungen oder dem Schwerpunkte sämtlicher Punktee ntspricht, folglich mit ihm die Eigenschaft teilt, dass für ihn0^2:2) die Gleichheit
2’ p . p 2 = £ p . r 2 + r 2 .1 p S
besteht, wo r,, r 2 , ... die Entfernungen der einzelnen Punkte vondem Schwerpunkte bezeichnen, o, , p 2 , ... aber ihre EntfernungenVon irgend einem andern, in der Distanz r vom Schwerpunkte^egenden Punkte ". Wird aber unter diesem andern Punkte speciellderjenige verstanden, welcher dem wahren Werte der Grösse ent-spricht, fiir welche das Mittel B ergeben hat, so gehen die p,, p 2 ,...x n die Fehler f,, f 2 , ... der einzelnen Bestimmungen über, währenddie r,, r 2 , ... deren Abweichungen v,, v 2 , ... von B bezeichnenUnd r mit dem Fehler oder der Unsicherheit A B von B überein-köinmt; man hat daher nach 2
2' p . f 2 = 2' p . v 2 + A B 2 .2f p 3
folglich wenn, wie bei den elementaren Beobachtungen, jedes pgleich der Einheit gesetzt werden darf und im ganzen n solcheBeobachtungen vorliegen,
2'f 2 = 2’v 2 + n. AB 2 oder £ v 2 < 2’ f 2 4
Es hat also der aus dem Mittel gleichwertiger Bestimmungen einerGrösse hervorgehende wahrscheinlichste Wert derselben die charak-teristische Eigenschaft, dass für ihn die Quadratsumme der Ab-weichungen ein Minimum wird, und hierauf gründet sich die durchbegendre und Gauss gleichzeitig aufgefundene Methode der kleinstenQuadrate, von welcher das folgende die wichtigsten Vorschriftengiebt h . — Definiert man die mittlere Abweichung m einer einzelnenBeobachtung vom Mittel aller n Beobachtungen durch m 2 = (2' v 2 ): n