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Die sog. Methode der kleinsten Quadrate. —

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sitzt, und dann die sämtlichen Gleichungen addiert, eine sog. Normal-gleichung zu bilden und sodann schliesslich die m Unbekanntenaus den m Normalgleichungen zu berechnen 7e .

Zu 58: a. Ohne ein teilweises Übergreifen auf später behandelte Gebieteliess sich hier nicht wohl auskommen, — und .doch konnte dieser Satz nichtvon den vorhergehenden abgetrennt werden. — b. Wenn sich in früherer Zeithei Lösung einer Aufgabe mehr Gleichungen als Unbekannte ergaben, sowurden (im höchsten Falle unter Anwendung einer gewissen Kritik) so vieleGleichungen weggelassen als überflüssige vorhanden waren, und so verfuhrauch Euler noch 1744 in seiner „Theoria motuum planetarum et cometarum“,während er dann allerdings in seiner 1748 gekrönten, leider wegen Wechseldes Verlegers der „Pieces de prix“ nur in wenigen Extra-Abdrücken erhaltenenPreisschrift „Sur les inegalites du mouvement de Saturne et de Jupiter“ alleGleichungen in der Weise benutzte, dass er durch zweckmässig scheinendeVerbindung derselben für jede Unbekannte eine Art Normalgleichung zu bildensuchte. Fast gleichzeitig ging auch Tob. Mayer in seiner Abhandlung „Überdie Umwälzung des Mondes (vgl. 240)“ in einem andern speciellen Falle aufähnliche Weise vor; aber auch bei ihm musste noch feiner Takt die fehlendesichere Methode ersetzen. Es war somit ein wesentlicher Fortschritt, als einigeDecennien später Boscovich das Princip aufstellte, man müsse im Falle vonüberschüssigen Gleichungen die Unbekannten so zu bestimmen suchen, dass dieabsolute Summe der übrigbleibenden Fehler ein Minimum werde, und (vgl. 425)überdies 1770 in einem Anhänge zu seinem „Voyage astronomique“ in sehrscharfsinniger Weise an einem bestimmten Beispiele zeigte, wie man demselbengerecht werden könne; aber immerhin war es erst Legendre, der in seinerSchrift „Nouvelles methodes pour la determinatiou des orbites des cometes.Paris 1805 in 4. (Suppl. 1806; 2“ suppl. 1820)“ in einem besondern Abschnitte„Sur la methode des moindres qnarres“ eine allgemeine und leicht durchführ-bare Methode veröffentlichte und zugleich den Nachweis leistete, dass dieselbeeine notwendige Folge des Principes vom arithmetischen Mittel und einer ge-wissen Eigenschaft des Schwerpunktes sei, — ein Nachweis, welchen ich, ohnehievon etwas zu wissen, in meiner „Note zur Methode der kleinsten Quadrate(Bern . Mitth. 1849)“ in der eingangs benutzten Art ebenfalls durchführte.Allerdings zeigte sich dann alsbald, dass auch Gauss gleichzeitig auf dieseMethode verfallen war und darüber schon vor Abschluss des 18. Jahrhundertswiederholt mündliche und schriftliche Mitteilungen gemacht hatte, und wennzwar eine betreffende Publikation von seiner Seite erst 1809 in der „Theoriafflotus“ erfolgte, so trug dieselbe, sowie seine „Theoria eombinationis observa-Gonum erroribus minimis obnoxise. Gottiugae 1823 in 4. (Suppl. 1828; franz.durch Bertrand, Paris 1855; deutsch durch A. Börsch und P. Simon, Berlin 1887)“, einen so ausgesprochenen Stempel der Originalität, dass dadurch alleZweifel hinfällig wurden und sogar eine ziemlich unverschämte, dem 2. Suppl.Begendres angehängte „Note par M*** (Mathieu?)“ keinen Prioritätsstreita nzufachen vermochte: Gegenwärtig werden allgemein Legendre und Gauss als gleichberechtigt anerkannt und es bleibt nur zu bedauern, dass nicht nebenIhnen als Vorläufer auch Boscovich genannt wird. — c. Nach den gemachtenAnnahmen erhält man aus 4

f' ! =m ! + &B ! wo AB 2 =

r(±fy

f| , + f; , + -±2f l f,± -

n J

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