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— Einige Vorkenntnisse aus der Arithmetik. —

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V V 2

1 n— 1

ist. Denkt man sicli aber letztem Wert für alle möglichen und offenbar gleichwahrscheinlichen Kombinationen der Zeichen -|- und — aufgeschrieben undzieht daraus nach dem angenommenen Grundsätze das Mittel, so erhält manals wahrscheinlichsten Wert

yft ft f* n

AB 2 = = t - = — und somit f 2 = m 2 -|- oder f* = —- --™ 2

n 2 n n n

womit die 5 erwiesen sind. — d. Die durch Gauss eingeführte „Fehlerfunction“wird in folgender Weise erhalten: Da nach dem frühem bei jeder Gattungvon Beobachtungen kleine zufällige Fehler als beinahe notwendig zu be-trachten sind, während merklich grössere Fehler um so seltener Vorkommen,je grösser sie werden, so hängt offenbar die Wahrscheinlichkeit, einen Fehlervon der Grösse v zu begehen, irgendwie von der Grösse, aber sicherlich nichtvon dem Zeichen dieses Fehlers ab, kann also als eine symmetrische Funk-tion <p (v) desselben angesehen werden,— und wenn man sich die v als Ab-scissen, die rp (v) aber als Ordinatenaufgetragen denkt, so wird man eine

__!4vi___ die wahrscheinliche Fehlerverteilung

darstellende, symmetrische und siclinach beiden Seiten rasch der Axe nähernde Kurve erhalten. Die Wahrschein-lichkeit, dass der Fehler zwischen den Grenzen v und v + dv liege, ist aber(50 : 2') gleich der Summe der AVahrscheinlichkeiten aller zwischen diesenGrenzen vorkommenden Fehler, kann also gleich der Fläche <p (vj • d v gesetztwerden, und somit die Wahrscheinlichkeit, dass er zwischen die Grenzen —cund +c, uder die Gewissheit, dass er zwischen — oo und -|- oo falle,

4-o 4-oo

W' =J" rp (v) • dv oder i = W"=J <p(v)-dv 1 J

— 0 —oo

Bezeichnet ferner W die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Reihe von n gleichguten Beobachtungen die Fehler v,, v 2 , ... v„ Vorkommen, so ist (50:1)

W = <j> (v,) • y (v 2 ). rp (v„) 14

und zwar muss dieses W, wenn die Fehler v durch Vergleichen der einzelnenBeobachtungen b mit ihrem Mittel M bestimmt werden, nach unserm Grund-sätze, dass das Mittel den besten Wert ergebe, einen grössten Wert annehmen.Nun erhält man nach 14 durch logarithmieren und differenzieren

d ■ rp (v 2 ) dv 2

M =

vb

dw =w f 4-y(v t ) ddM LV ( v i) ‘ d Vj d

= b, — M oder =1 dM

M rp (v 2 ) • dv 2 dM

-•]

v, = b.

■ M oder

dv.

= — 1, etc.

n ' ‘ öl ' ‘ dM

Wenn also W ein Maximum annehmen, d. h. dW: dM = 0 werden soll, so mussd • <p (v,)

d- rp (v a )

+

= 0 ^ v, + v 2 + ..

(V,) - d.v, rp (Vj) • dv 2

werden, — eine Gleichheit, welche, da die v von einander unabhängig sind,

nur bestehen kann, wenn je die entsprechenden Glieder zu beiden Seiten des

Gleichheitszeichens gleich sind, oder wenn, falls 2 a eine Konstante ist, allgemein

d • q> (v) „ . „ , d • cp (v)

—=2av oder 2av-dv = —

<p (v) • dv rp (v)

woraus durch Integration, wenn Ln c ebenfalls eine Konstante ist,a • v 2 -j- Ln c = Ln <p (v) oder <p (v) = c • e a • v2

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