55

— Das Dreieck. —

145

Dreieckswinkel, während nach dem Begriffe der Geraden jede seinerSeiten kleiner als die Summe, also auch grösser als die Differenz^ e r beiden übrigen sein muss; ferner sind zwei Dreiecke kongruent,^ e nn sie zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel, oder eineSeite und die anliegenden Winkel gleich haben, — dagegen ähn-Üch, wenn ein Winkel und das Verhältnis der einschliessenden Seiten,°der zwei Winkel übereinstimmen. — An diese ersten Sätze lässtSl °h eine ganze Kette anderer anreihen, so dass jeder folgende, unter^fälliger Anwendung einfacher und nur in Gedanken auszuführenderDilfsmanipulationen, als eine notwendige Folge früherer dargestellt°der bewiesen werden kann “. So findet man z. B., dass ein Drei-e °k, welches zwei gleiche Seiten oder Schenkel besitzt, durch einederen Winkel halbierende Gerade in zwei kongruente Dreiecke zer-Dillt, dass also die Bisectrix die dritte Seite oder Basis unter rech-tem Winkel halbiert, und auch die beiden Winkel an der Basisgleich sein müssen, — dass diese Kongruenz auch statt hat, wenndie Basiswinkel gleich sind, also auch umgekehrt gleichen Winkelngleiche Seiten gegenüherstehen, — etc. Und hieraus ergehen sich"deder successive mit Leichtigkeit die Sätze: Tn einem Dreieckestellt einer grossem Seite ein grösserer Winkel gegenüber, undUftl gekehrt; die Senkrechte ist die kürzeste Linie, welche man vonei nem Punkte nach einer Geraden ziehen kann, und dient dahera ls Muss seines Abstandes von oder seiner Höhe über der Geraden;J e de zwei Punkte der letztem, welche von dem Fusspunkte derSenkrechten, der sog. Projektion des Punktes auf die Gerade, gleich"'eit abstehen, stehen auch von dem Punkte selbst gleich weit ab,11 n d umgekehrt; zwei Dreiecke, deren sämtliche Seiten oder Seiten-Vei 'hältnisse gleich sind, sind kongruent oder ähnlich; etc. — Wenn2we i Gerade, wie es (54) für zwei Parallele laut ihrer Erzeugung^ er Fall ist, mit einer Dritten gleiche Winkel bilden, so sind auch*hre Winkel mit jeder Vierten gleich gross 6 , — und wenn man^her zwei Paare von Parallelen hat, so entstehen durch VerbindungZv veier Gegendurchschnittspunkte zwei kongruente Dreiecke, aus' Ve lchen der Satz folgt, dass Parallele zwischen Parallelen gleichSln, i, also z. B. auch Senkrechte zwischen Parallelen: Es habenals o Parallele überall denselben Abstand, können sich folglich nichtSchneiden c . In entsprechend leichter Weise lassen sich auch die1 ätze vom Proportionalschneiden von Parallelen, etc., erweisen undy* e le betreffende Konstruktionsaufgaben lösen d . — Ist in einemr eieeke ein Winkel (C) ein Rechter, so sind die beiden andernund A) komplementär; die Gegenseite (c) des rechten Winkelsl ' e nnt man Hypotenuse, die einschliessenden Seiten (b, a) Katheten *.

Wolf, Handbuch der Astronomie. I. ]0