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— Einige Vorkenntnisse aus der Geometrie.

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Zieht man die der Hypotenuse entsprechende Höhe, so bilden sichauf derselben zwei Abschnitte (x, y), und es verhält sich

x:h = h:y c:a = a:y c:b = b:x I

' woraus a 2 + b 2 =■ c . y + e . x = c 2 ®

oder der sog. Pytliacjoräische Lehrsatz folgt, dessen sog. Erweiterunga 2 = h 2 + y 2 = b 2 — x 2 + (c — x) 2 = b 2 -|- c 2 — 2ex 3auf irgend ein Dreieck ebenfalls leicht erhalten wird f. — Ver-bindet man die Mitte einer Dreieckseite mit der Gegenecke, sowird das Dreieck halbiert; hieraus folgen aber successive die Sätze:Zwei Dreiecke von gleicher Grundlinie und Höhe sind gleich grossoder besitzen gleiche Fläche; zwei rechtwinklige Dreiecke verhaltensich wie die Produkte ihrer Katheten; nimmt man als Flächen-einheit ein rechtwinkliges Dreieck der Katheten 1 und 2 an, so istdie Fläche irgend eines Dreiecks gleich dem halben Produkte ausGrundlinie und Höhe i >. — Von zahlreichen andern Sätzen erwähneich beispielsweise noch folgende: Jede Gerade oder sog. Transversalschneidet die Seiten eines Dreiecks oder ihre Verlängerungen so,dass die Produkte der nicht aneinanderliegenden Abschnitte gleichwerden; verbindet man die Mitten der Dreiecksseiten mit den Gegen-ecken, so schneiden sich die drei Verbindungslinien in Einem Punkte,dem sog. Schwerpunkte, und dieser teilt jede derselben im Vei'"hältnisse von 2:1; errichtet man in denselben Mitten Senkrechte,so treffen auch diese in Einem Punkte zusammen, dem sog. CentruUlder Ecken, das von allen Ecken gleich weit abstelit; ebenso schneidensich die drei Bisectrissen der Dreieckswinkel in Einem Punkte, demsog. Centrum der Seiten, das von allen Seiten gleich weit absteht;etc. h .

Zu SS: tt. Ich muss mich hier des Kaumes wegen darauf beschränke' 1 !den Gang anzudenten und nur auf einige besondere Fälle näher einzutreten-— h. Schneidet man ein System von vier Geraden entsprechend beistehende 1 'Figur durch eine Hilfslinie, so folgen aus den entstehendenDreiecken die Winkelgleichheiten u=tp-\-y,ß—qi-\ S und |S' = i/, + i5, also a-\-ß‘— a‘ß. Wen 11daher « = ist, so muss auch ß — ß‘ sein, womit de rbehauptete Satz als eine notwendige Konsequenz frühere 1Definitionen und Sätze dargestellt und somit bewiesen l3 *"— c. Die seit Euklid fast allgemein beibehaltene Definition!

«'.< V

ß=fl'

„Parallele seien Gerade einer Ebene, welche sich nicht schneiden, soman sie auch verlängern möge“, ergiebt sich somit als eine Konsequenz h eIunsrigen, — ist aber nach meinem Dafürhalten als Definition dennoch uuz 11 'lässig, da eine solche nie auf einer sog. negativen Eigenschaft beruhen soll;man darf sich über die Schwierigkeiten, welche sie den Geometern seit z«^ 1Jahrtausenden bereitet hat, somit weniger verwundern, als über das eig e11 'sinnige Beharren auf derselben. Von den vielen Schriften über Parallel 611 '