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Das Dreieck. —

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theorie nenne ich: „Daniel Huber (Basel 17G8 — ebenda 1829; Prof. math.Basel; vgl. Biogr. I), Nova theoria parallelarum. Basileae 1823 in 8., — Legendre ,Sur la theorie des paralleles (Mem. Paris 1833), — Nicolai Lobatsclievskji(Nischnei-Novgorod 1793 — Kasan 1850; Prof. math. Kasan ), GeometrischeUntersuchungen zur Theorie der Parallellinien. Berlin 1840 in 8. (franz. durchHoiiel, Paris 1866), — etc. — d. Halbiert man z. B. einen Dreiecks winke],zieht durch eine der übrigen Ecken eine Parallele zu dieser Bisectrix undverlängert die Gegenseite derselben, so entsteht ein gleichschenkliges Dreieckund ein Paar ähnlicher Dreiecke, und es ergiebt sich leicht der Satz: „DieBisectrix eines Dreieckswinkels teilt die Gegenseite im Verhältnisse der ein-schliessenden Seiten.“ — Auf den Parallelsätzen beruht auch der von Galilei etwa 1597 eingeführte, früher viel gebrauchte Proportionalzirkel in Gestalteines Zollstahes, und ebenso der von Bürgi ungefähr gleichzeitig konstruierte,mit, Beeilt noch jetzt beliebte Reduktionszirkel in Gestalt eines Doppelzirkelsmit beweglichem Kopfe. Vgl. für erstem „Galilei , Le operazioni del compassogeometrico e militare. Padova 1606 in fol.“; — für letztem „Levin Hulsius (Gent 1560? — Frankfurt 1606; Sprachlehrer, Notar und Verleger zu Nürnberg und Frankfurt ), Beschreibung und Unterricht des .Tobst Burgi Proportional-Girckels. Frankfurt 1603 in 4.“ — e. Die altern Geometer unterschieden imrechtwinkligen Dreiecke „Hypotenusa, Basis und Catlietus oder Perpendiculum“,— hatten also nicht zwei Katheten wie wir. — f. Die der Hypotenuse ent-sprechende Höhe zerfällt das Dreieck in zwei ihm unddaher auch einander ähnliche Teile, woraus die 1 folgen,und sodann die 2, welche schon die alten Indier ge-kannt zu haben scheinen. Pythagoras dürfte nur dasVerdienst zukommen, diesen Satz als Flächensatz aus-gesprochen und bewiesen zu haben; dass er seine an-gebliche Erfindung durch ein Opfer von 100 Ochsen feierte, ist wohl irrig,aber immerhin zittern, wie Lichtenberg hervorhob, seit dieser Zeit bei jedergrossen Erfindung alle Ochsen. Der „Magister matheseos“, wie dieser Satzauch hiess, der in früherer Zeit meist die in sog. „gelehrten“ Schulen be-handelte Geometrie abschloss, wurde schon durch Euklid unserm 3 entsprechendauf jedes Dreieck ausgedehnt, wobei jedoch x, falls A stumpf ist, negativ

wird. — g. Ist ad = db, de || bc und df || ac,so ist AadeeS Adfb und A-deecs Acfd, alsoAacd = Adcb. — Ist ferner kg = ci, so istauch kh = hc, also Aakh = Aach und Abkh =Abch, folglich Aakb = Aach. — Haben zweirechtwinklige Dreiecke der Flächen F undeine Kathete A gleich, während sich die andernKatheten B : h = m : n verhalten, so zerfallensie, wenn man B in m und b in n gleiche Teilezerlegt, durch Verbindungslinien mit den Gegen-ecken ebenfalls in gleiche Teile, und man hatdaher F : </> = m : n = B : b. Ist sodann noch ein drittes rechtwinkliges Dreieckder Fläche f und der Katheten a, b vorhanden, so hat man entsprechend7>: f — A : a, also F : f = A • B : a • h, und somit nach der gemachten AnnahmeB = y 4 • A • B, folglich (vgl. Fig. f) AABC = (a • x • h + y • h = 1 , t • c ■ h,w-z-h-w. — Ich halte dafür, dass diese, von mir spätestens seit 1852 schona m Dreiecke dnrehgeführte Flächenbestimmung, für systematischen Aufbau

V

h N v

/ x

y x