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— Einige Vorkenntnisse aus der Geometrie. —

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der Geometrie wesentlich zweckmässiger ist, als die sonst von alters herübliche Art, vom Viereck auszugehen. — Nach dem mehrerwähnten PapyrusEhind setzten die alten Egypter die Fläche eines Dreieckes der Basis a undder zwei gleichen Schenkel b gleich a • b, was gerade nicht eine hohe Mei-nung von ihren geometrischen Kenntnissen giebt, — und wenn die Angaberichtig ist, dass Zenodorus (etwa um 100 v. Chr.) seinen Traktat über Figurengleichen Umfangs zunächst schrieb, um der irrigen Meinung entgegenzutreten,dass gleichem Umfange auch gleiche Fläche entspreche, so haben wir anzu-nehmen , dass die richtigen Grundsätze für Fiächenbereclmungen sehr langeauf sich warten Hessen . — Auf die Isoperimetrie kann ich hier nicht eintreten,sondern verweise für sie auf „Lhuilier, De relatione mutua capacitatis et ter-minorum flgurarum. Pars. I. Varsovise 1782 in 4., — Steiner, Einfache Be-weise der isoperimetrischen Hauptsätze (Berl. Abh. 1836), und: Sur le maxi-mum et lo minimnm des ligures (Crelle 24 von 1842), — etc. — h. WirdAabc durch eine sog. Transversale de geschnittenund zieht man ag |] hc, so ergeben sich aus den ent-stehenden zwei Paaren ähnlicher Dreiecke die Pro-portionen ag : he = ad : db und fa : ag = cf: ce,„ , aus deren Multiplikation die unter der Figur stehende

il/ad^bc.cf= db.ee. fa Gleichheit, der sog. Transversalensatz oder die sog-„Regula sex quantitatum“ hervorgeht. Dieser Satz warvielleicht schon Euklid, jedenfalls aber Menelaus bekannt, wurde von Ptolemäus im Almagest aufgeführt und bis auf die Zeit von Pascal vielfach angewandt:dann aber wurde er total vergessen und erst durch Theodor Schubert undNikolaus Fuss (Basel 1755 — Petersburg 1826; Gehilfe von Leonhard undTochtermann von Albert Enler; Prof. math. und Sekretär Akad. Petersburg )wieder hervorgezogen (vgl. Acta Petrop. 1796—98), um sodann zum Ausgangs-punkte für die sog. neuere Geometrie zu werden. Vgl. für ihn und die sog.„merkwürdigen Punkte“ des Dreiecks die Scliriften: „Karl Wilhelm Feuerbach (Jena 1800 — Erlangen 1834; Prof. math. Erlangen ), Eigenschaften einiger merk-würdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks. Nürnberg 1822 in 4., — Karl Adams (Merscheid bei Düsseldorf 1811 — Winterthur 1849; Prof. math. Winterthur ), DieLehre von den Transversalen. Winterthur 1843 in 8., und: Die merkwürdigstenEigenschaften des geradlinigen Dreiecks. Winterthur 1846 in 8., — etc.“

56. Das Viereck und Vieleck. — Während das Dreieck(55) nur Einer Form fähig ist, so kommen heim Vierecke 3, beimFünfecke 5, etc., beim 2n-Eck (n 2 .—1), beim (2n -f- 1)-Eck(n 2 -f-n—1) verschiedene, sich nach Winkelsumme, Fläche, etc-,unterscheidende Formen vor, von welchen diejenigen, für welcher — p — 1 ist und daher die Winkelsumme dieselbe wie für (0,1)wird, gemeine heissen, während die andern ohne Ausnahme über-schlagen (croise) sind — Seiner Fläche nach kann man sich einVieleck durch Drehung einer Geraden von veränderlicher Längeentstanden denken: Man wählt irgend eine Ecke als Pol, eine derdurch sie gehenden zwei Seiten als Ausgangslage, die zweite alsEndlage der erzeugenden Geraden, und dreht nun die Erzeugendeso um den Pol, dass ihr jeweiliger Endpunkt den Umfang des Viel-