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Einige Vorkenntnisse aus der Geometrie. —

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noch ohne richtige Einführung der Winkel; vgl. auch den betreffenden„Sviluppo storico“ von Günther in Bull. Boncomp. von 1873. — b. Nach dergegebenen Begel ist I = abc -f acd -f ade; II = fgh — fhi = fgp — phi;

III = klm — kmn + kno =klmqk — noq; etc. — Ichhielt diesen von mir 1841 ge-machten Versuch, die Flächer e * ner a Ue Figuren beherr-

ya_X sehenden Weise zu ermitteln,

m 1 für etwas Neues, bis ich einige

Decennien später in „Friedrich Meister (Hohenlohe 1724 — Göttingen 1788;Prof, philos. und Akad. Göttingen ), Generalia de genesi figurarum planaruni,et independentibus earum affectionibus (Comm. Gott . 1771)“ eine ganz ver-wandte'Untersuchung fand. — c. Der Satz vom Summenparallelogramm lässtsich unmittelbar aus der beistehenden Figur ablesen.Ist das Dreieck rechtwinklig und legt man an dieKatheten Quadrate , so wird a gleich der Hypotenuseund steht zu ihr senkrecht; es kömmt somit das Qua-drat über der Hypotenuse mit dem Summenparallelo-gramm überein. Für andere Beweise des pythagoräi-sclieu Lehrsatzes, die durch und seit Euklid gegeben wurden, vgl. z. B. „IgnatzHoffmann (Mainz 1777 — Aschaffenburg 1866; Prof. math. Aschaffenhurg), Derpythagoräische Lehrsatz mit 32 Beweisen. Mainz 1819 in 4. (2. A. 1821).“

Verlängert man zwei Nebenseiten df und de einesZeilecks so, dass die Endpunkte a und b mit der Gegen-ecke c eine Gerade bilden, und hält a als Pol fest,so beschreiben b und c ähnliche Wege, indem bb' || 00und bb' : cc' = ha : ca wird. Es beruht hierauf derzur Verjüngung von Plänen, etc., dienende Storch-schnabel oder Pantograph (von navntoq = allerlei, undfj>u<fü) = ich zeichne), der etwa 1603 von Scheiner er-stellt und sodann in seinem „Pantographice. Eomse 1631 in 4.“ beschrieben,seither allerdings vielfach umgestaltet wurde. —- d. Sind a, b, c, b vier Punkteeiner Geraden A, und a, b, c, d die von einem Punkte Bnach ihnen führenden Strahlen, so ergieht sich (66), dass

ab Si(a,b) b Si i p d Si <p cb__Si(cp})

bc Si (b, e)’a b Si (a, b)

also

Si (p

ab

bc

ab Si(a, d)Si (a, d)

: ST(d7c)

d

Es besteht daher der Doppelsatz:gegenseitige Lage nicht verändern

bc Si(b, c)

Wenn die vier Strahlen a, b, c, d ibr eso schneiden sie jede Transversale so n>vier Punkten, dass ein gewisses Doppelverhältnis ihrer Entfernungen unver-ändert bleibt, — wenn dagegen die vier Punkte a, b, c, b ihre Lage nichtverändern, so bilden jede vier Strahlen eines Büschels, welche durch diesePunkte gehen, solche Winkel mit einander, dass ein gewisses Doppelverhältm 3ihrer Sinus unverändert bleibt.“ Dieser Satz, welchen Steiner an die Spit zeseiner Untersuchungen projektivischer Gebilde gestellt, aber in seiner erstenHälfte schon Pappos bekannt war, ist für uns besonders wichtig, wenn diebeiden Doppelverhältnisse gleich der Einheit werden, d. li.

ab : ab = cb : cb = (ab — ac): (ac — ab) *