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— Das Viereck lind Vieleck. —

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ist, oder (21: 5) die beiden Abschnittenpaare von ac eine sog. harmonischeProportion eingeben. Man nennt in diesem Palle, der z. B., weil für ihn auch

Si (a, d) _ Si (c, d) . Si (e,_b_) _ Si (c,_d)_

Si (a, b) — Si (c, b) ° ( 61 Si [(a, c) — (c, b)] ~ Si [(a, c) + (c, d)]''verden muss, für (a, c) = 90“ und (b, c) = (c, d) statt bat, sowohl die Punkteals die Strahlen ebenfalls harmonisch. — Ferner ergiebt sich der merkwürdigeSatz: „Jede der drei Diagonalen eines Vierseits (54: e) wird durch die beiden

übrigen harmonisch geschnitten“, zu welchem manebenfalls schon bei Pappos ein Analogon findet;denn, wenn man den Transversalensatz (55) z. B.für die Dreiecke ach, a g c und h g c, und für dieTransversalen gb, hd und ai aufschreibt, so findetman, dass die Gleichheit

fb c ST

ab-cd = bc-da

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bestehen muss, womit in Vergleichung mit 2 der ausgesprochene Satz bewiesenist. Mit Hilfe von 1 lassen sich auch ohne Schwierigkeit die Proportionena' b' • a‘ b" : a‘ c' ■ a 1 c" — a" V • a"'b“ : a“ c 1 • a" c"

b' a' • b' a‘

e' a' • o‘ a" : c' b' • c' b" = c" a' • c" a“ : c" b' • c" b"erhalten, welche sclioii Gerard Desargues (Lyon 1593? — ebenda 1062?; erstOffizier, dann Privatgelehrter in Paris , etc.) gekannt haben soll, und man sagtvon den drei■ Punktenpaaren a'a", b'b", c'c", dass sie in Involution stehen.Aus dem Produkte der drei 5 ergiebt sich aber die Gleichheit

Welche somit ebenfalls als Bedingung der Involution angesehen werden kann1l nd überdies, da sie die Gleichheit der Produkte nicht aneinander liegenderAbschnitte bezeugt, begreiflich macht, wie man dazu kommen konnte, der In-volution von 6 Punkten einer Geraden den Transversalensatz (55) gegenüberZtt stellen. Ferner lässt sich mit Hilfe von 1 und 5 leicht zeigen, dass, wennttan einen Punkt mit 6 in Involution stehenden Punkten einer Geraden ver-bindet, auch die so erhaltenen Strahlen Winkel bilden, deren Sinus entsprechendeRelationen eingehen, — dass diese Strahlen, welche ebenfalls als in Involutionstehend bezeichnet werden, jede andere Gerade wieder in C eine Involutionbildenden Punkten schneiden, — etc.

5'S. Die centrischen Vielecke und der Kreis. — FindetSl °h zu einem Vielecke ein Punkt, der von allen Ecken, oder vona Hen Seiten, oder sowohl von allen Ecken als von allen SeitenSpeich weit absteht, so heisst er Centrum der Ecken, oder der Sei-j' en i oder des Vielecks. Senkrechte von dem Centrum der Eckenfflbieren die Seiten, — Glerade von dem Centrum der Seiten hal-ben die Winkel, — und zieht man in einem centrischen n-Eckev °ßi Centrum aus alle Verbindungslinien mit den Ecken oder alle

s °g. Radien, und alle Senkrechten auf die Seiten oder alle sog.^pothemas, so zerfällt es in 2n kongruente Dreiecke, aus welchenhervorgeht, dass sowohl alle Seiten als alle Winkel dieses n-EeksSpeich sind, oder dasselbe, wie man sagt, regelmässig ist. — Be-