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Einige Vorkenntnisse aus der Geometrie. —

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zeichnen R, A, S der Reihe nach Radius, Apotheraa und Seite einesregelmässigen n-Ecks, — R, r, s, oder r, a, s', oder R', R, S' aberdieselben Grössen für ein 2n-Eck desselben Radius, oder ein 2n-Eckdesselben Umfanges, oder ein n-Eck, welches den Radius des erstenzum Apothema hat, so bestehen die BeziehungenS = 2 VW — A 2 b' = V, S = VW~~W a = V» (A + R)

r 2 = R • a s 2 = (R 2 — A 2 ) -j- (R — A) 2 == 2R (R — A) *

R 2 = R' • A S' = 2 l'R' 2 R 2 = 2 R ■ VW— Ä 2 : A

welche aus R und A alle übrigen Grössen zu berechnen erlauben"-

Da nun nach der 3. und 4. dieser Formeln bei gleichem Umfangep durch Verdoppeln der Seitenzahl das Apothema vergrössert, derRadius aber verkleinert wird, so müssen sich bei fortgesetztem Ver - 'doppeln die Verhältnisse p:a und p:r einem Grenzwerte näherniwelchen wir. mit bezeichnen wollen, so dass für ein centrischesUnendlicheck der Fläche f die Beziehungen

p = 2 r • n f = • r = r 2 ■ n r = - = V i :n ®

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bestehen b . — Ein solches Unendlicheck kömmt aber offenbar mitdem ebenen Orte eines Punktes überein, der von einem gegebenenPunkte einen gegebenen Abstand hat, oder mit einer sog. Kreislinie)und dabei verhalten sich notwendig Teile der Kreislinie, oder sog-Kreisbogen, wie die durch die Radien ihrer Endpunkte bestimmtenWinkel, die sog. Mittelpunktswinkel , so dass die einen durch dieandern gemessen werden können. Es korrespondiert somit auch dieKreisteilung mit der Winkelteilung, und .es ist in der That letztereder erstem jeweilen nachgebildet worden c . — Ist der Abstand deiner Geraden vom Centruin eines Kreises kleiner als dessen Ra -dius r, so hat sie mit der Kreislinie zwei Punkte gemein, derenAbstand s = 2 iV 2 — d 2 " 9

Sehne (Chorde, Subtensa) heisst, während die Gerade selbst Secantegenannt wird; dabei hälftet der zur Secante senkrechte Radiu soffenbar auch den von ihr abgeschnittenen Bogen, und hieraus folgtsodann, dass zwischen parallelen Secanten liegende Bogen einandergleich sind. Für d = r wird s = 0, und es geht die Secante i neine sog.. Tangente über, welche mit der Kreislinie nur noch Eine«Punkt gemein hat und sonst ganz ausser ihr liegt' 2 . — Ein Winkel)dessen Scheitel in der Kreislinie oder auf der sog. Peripherie de 8Kreises liegt, heisst Peripheriewinkel und ist offenbar gleich derHälfte des mit ihm auf gleichem Bogen stehenden Mittelpunkts-winkeis; Peripheriewinkel, welche auf gleichen Bogen oder z 11 'samrnen auf dem ganzen Kreise stehen, sind daher gleich oder