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— Die centrischen Vielecke und der Kreis.

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1519; Maler, Bildhauer, Mathematiker und Physiker; vgl. Venturi „Paris 1797in 4.“ und Grothe „Berlin 1874 in 8.“) gelehrte, nette graphische Verfahren,um aus einer Zahl n die Quadratwurzel auszuziehen: Man trägt n in be-liebigem Masstabe auf, — verlängert um 1, — konstruiert über n + 1 einenHalbkreis, — und misst die im Teilpunkte errichtete Senkrechte x — | n. Vgl.„Charles Ravaisson, Les manuscrits de Leonard da Vinci (Fac-simile mitfranz. Übers.), Paris 1881 in fol.“ — /. Ptolemäus hat seinen Satz (Almag. Halma I 29) nicht nur aus-gesprochen , sondern auch in folgender Weise be-wiesen : Die beiden Winkel « und ebenso die beidenWinkel ß sind als Peripheriewinkel auf gleichenBogen gleich; zieht man nun be so, dass ä — y, sowird Aabe oo Adbc und Abce co Ab da, folglichverhält sich ab : ae = db : de und hc : ce = bd : da,— also ist ab • de + bc • da = hd • ac, w • z ■ b • w.— rj. Der Winkel an der Spitze des Bestimmungsdreieckes ist 360° :n, alsojeder Basiswinkel 90" — (180°: n). So wird z. B. heim Zehnecke ersterer 30",jeder der letztem 72 = 2 x 36°, und es schneidet somit die Bisectrix einesder Basiswinkel vom Bestimnjiingsdreiecke ein ihm ähnliches Stück ab undvollzieht dabei auf dem Gegenschenkel einen sog. goldenen Schnitt. Bezeichnensomit r und s Radius und Seite des Zelmecks, so ist

J ; 5 — 1 /r\ 2 _3+l / 5

s

oder

— = S — oder — =- ■ uuci i — | —■ „

s r — s r 2 \s J 2

folglich, wenn das Fünfeck von gleichem Radius die Seite S und das Apo-

©

thema A hat, mit Hilfe von 1

S 2 = 4 (r 2 — A 2 ) s 2 = 2r(r —A) S 2 = s 2 + r 2 S

Beziehungen, welche uns später (01) gute Dienste leisten werden. — LouisBertrand (Genf 1731 — ebenda 1812; Prof, matli. Genf ; vgl. Biogr. I) sagtin der Einleitung zu seinen „Elemens de Geometrie. Geneve 1812 in 4.“, erhabe in seinem „Developpement nouveau de la partie elementaire des mathe-matiques. Geneve 1778, 2 Vol. in 4/ die Trigonometrie nach einer um 1753bei Euler gehörten Vorlesung dargestellt, und es sind also mutmasslich folgende,

in letzterm AVerke (II 399) enthaltenen, na-mentlich auch gegenüber 63 interessantenEntwicklungen ebenfalls Euler zu verdanken:Wenn nämlich AB = BC = CD — etc., undCH = AC, DI = AD, etc., so ist AABC 53CDU, AACD gs DEI, etc., also AH =AB + AD, AI — AC + AE, etc. Da nunnach Konstruktion die Dreiecke ABC, ACH,ADI, etc. ähnlich sind, so istAB : AC = AC : AH = AC : (AB j- AD) = AD : AI = AD : (AC + AE) = etc. «AVenn demnach AB = a, folglich a s = 2- MB, so hat man

AC 2 = 4 - AM 2 = 4 (2 — MB) • MB = 4a 2 - a 4 7

und sodann nach G successive

4a 2 — a* = AC 2 — a (a + AD) oder AD=3a — a 3 S

AC ■ AD = a (AC -f AE) AE 2 = 16a 2 — 20 • a* + 8 • a 6 — a s 9

etc. Es bestehen also Formeln, nach welchen man aus der Sehne eines Bogens

B