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Einige Vorkeuntnisse aus der Geometrie. —

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die Seimen seiner Vielfachen leicht finden kann. — Wenn die Punkte h und dso in einem Durchmesser eines Kreises des Mittelpunktes o und Radius r

liegen, dass ob • od = r 2 ist, also bi L od dem

Punkte d als Berührungssehne entspricht, so heissensie reciprok und teilen ac so, dass

ab _ r + ob _ r + (r 2 : od) _ o d + r ad

bc r — ob r — ~(r*: od) — o d — r ” de

d. h. dass (56) a, b, c, d harmonische Punkte, folglichauch, wenn g ein beliebiger Kreispunkt ist, ga, gb,gc, g'd harmonische Strahlen sind. Nun ist Z.agc =90°, also halbiert gc (nach 56:3) Zdgb, also istec = ch, also halbiert bc den Zebli, und, da überdies bfJ.ac, so sindauch bf, be, bc, bh harmonische Strahlen, — folglich teilen der sog. Pol dund die ihm entsprechende, für einen äussern Punkt mit dessen Berührungs-sehne zusammenfallende sog. Polare bf die Sehne ge harmonisch. Umgekehrtist notwendig von jeden zwei Punkten, welche eine Sehne harmonisch teilen,der eine Pol einer Geraden, welche durch den andern geht. — „In jedem ein-geschriebenen Vierecke a b c d be-stitnmen die Durchschnittspunkteder Diagonalen und der Gegenseitenein Dreieck efg, in welchem jedeEcke Pol ihrer Gegenseite ist“;denn, da (56) aech und debi har-monische Punkte, also ga, ge, gc,gh und fa, fe, fc und fh harmoni-sche Strahlen sind, so müssen hin-wieder akbg, dm cg, aldf undbnef harmonische Punkte sein, — es liegen somit i und h in der Polaren von e,k und m in der Polaren von g, 1 und n endlich in der Polaren von f, w. z. b. w.Nach diesem Satze kann man aber leicht zu jedem Punkte als Pol seine Polare,und, indem man für zwei Punkte einer Geraden die Polaren, und sodann denDurchschnittspunkt der letztem aufsucht, den Pol der Geraden bestimmen.

..Wenn man in einem eingeschriebenen Sechsecke je zwei Gegenseiten bis zuihrem Durchschnitte verlängert, so liegen die drei Durchschnittspunkte ineiner Geraden“; denn wenn man für Aabc teils den Transversaleusatz in Be-ziehung auf 2, 4, 6, teils für seine Ecken die Potenzgleichheit aufschreibt, soerhält man als Produkt der sechs Gleichheiten, dass aA • bC • cB = Ab ■ Cc • Baist: Es liegen also die Punkte ABC so auf den Seiten des Dreiecks abc, wiesolches einer Transversale zukömmt, oder also in einer Geraden, w. z. b. w.Dieser Satz, der offenbar projektivischer Natur ist, da durch Projektion dieihm zu Grunde liegenden Verhältnisse nicht verändert werden, — somit (83)für alle Kegelschnitte Giltigkeit hat, ist sowohl unter dem Namen des Hexa-grammum mysticum, als unter dem Namen des Satzes von Pascal bekannt, daer einerseits sehr merkwürdig ist, und anderseits durch Pascal schon in seinem16. Lebensjahre aufgefunden und an die Spitze seines auf 7 Seiten publizierten„Essai pour les coniques. Paris 1640 in 8.“ gestellt wurde. Von seiner Ver-wendung lasse ich zwei Beispiele folgen: Kennt man die 5 Punkte I bis Veines Kegelschnittes, so ist damit A, und für jede durch I gezogene Geradeauch C, — somit aber die Gerade CA und der Punkt B gegeben, welch letz-terer mit V den in jener Willkürlichen liegenden Punkt VI des Kegelschnittes

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