158
— Billige Vorkenntnisse aus der Geometrie. —
bl
den Kreis in zwei Punkten, welche mit 0 ein neues Paar konjugierter Durch-messer bestimmen: So z. B. hat solches für den Durchmesser 0,MPC, statt,so dass.Oc, und Oc. ; ebenfalls ein Paar konjugierter Axen darstellen, und
da in diesem Falle Z. C, 0 C.;
CD
gehenden 0 Q
P Q “= (r 2
sich Qa':PQ
90° ist, die Hauptaxen. — Sind Q undoder P und aQ, je Pol und Polare, alsoQ und P reciproke Punkte, und soll m derreciproke Punkt von a sein, so hat man0 P • 0 Q = r* und 0 m • 0 a = r 2 , also
OP : Om = Oa : OQ 10
Hieraus folgt, dass AOPm oo 0aQ oderPmUOa ist, so dass die Polare von a durchP führt, somit der Satz besteht: „Bewegtsich ein Punkt auf einer Geraden, so drehtsich seine Polare um deren Pol, — und um-gekehrt, wenn sich eine Gerade um einenfesten Punkt dreht, so bewegt sich ihr Polauf seiner Polare“. Da ferner ans dem vorher-ig und Om = r 2 : Oa = r 2 ■ r': j r 1 + « 2 • r' 2 folgen, somitr**): r' und Pm = |/r' 2 — Om 2 = « ■ r' 4 : | r‘ + „• -"F 2 ist, während0 m : P m verhält, so hat man
«' = A : « wo A = r 2 (r 2 — r' 2 ): r' 2 I 1
eine von « unabhängige Grösse ist. Man kann daher zu jedem Punkte a einenihm konjugierten Punkt a' linden, und überdies ergiebt sich mit Hilfe von U>dass, wenn aa', bb', cc‘ drei Paare solcher konjugierter Punkte sind, die Be-ziehung ab • ab': ac ■ ac' = a'b • a'b': a'c ■ a'c' I 2
besteht, welche (5G) als Definition einer Involution von G Punkten aufgestelltwurde. Ferner folgt aus 11, dass « •«'= A ist, oder dass der Punkt Q dieEigenschaft besitzt, dass das Produkt seiner Distanzen von zwei konjugiertenPunkten konstant.ist: Er heisst darum Centrum der Involution und ist offenbarseihst dem unendlich fernen Punkte konjugiert. — Und so weiter.
58. Die ersten Bestimmungen von Kreisliinge nn<lKreisinlialt. — Dass sich der Badius 6 mal im Kreise herum-tragen lässt, also der Umfang dieses letztem ein etwas mehr alsDreifaches seines Durchmessers sein muss, scheint schon die ältesteZeit bemerkt zu haben“, — ja es ist sicher, dass dieses Verhältnis)welches wir jetzt mit n bezeichnen 6 , schon sehr frühe auch alsdasjenige der Fläche des Kreises zu dem Inhalte des durch seinenBadius bestimmten Quadrates erkannt und etwas genauer bestimmtwurde, — vielleicht anfänglich auf empirischem Wege c , bald aberauch durch geometrische Betrachtungen: Wie die alten Egypterund Indier zu gewissen, gar nicht Übeln Begeln für die Kreis-rechnung gelangten, weiss man allerdings nicht* 1 , — dagegen kenntman mehr oder weniger den von den Griechen dafür eingeschlagenenGedankengang, der dann schliesslich zu dem rationellen Verfahrenführte, mit welchem wir uns unter der folgenden Nummer befassenwerden ®.