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— Einige Vorkenntnisse aus der Geometrie.
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gezeigt, wie die Fläche eines Kreises aus seinem Umfange berechnetwerden kann, schloss er den Kreis zwischen ein uingeschriebenesund ein eingeschriebenes 96-Eck ein, leitete in höchst scharfsinnigerWeise für deren Perimeter Grenzwerte ab 6 und gelangte so schliess-lich zu dem Satze: „Der Umfang eines Kreises wird erhalten, indemman dem Dreifachen des Durchmessers noch einen Teil desselbenzufügt, der kleiner als lu / 70 und grösser als 10 / 71 ist“, — ein Satz,welcher nach Ableitung und Inhalt von jeher mit Recht als eineder Hauptleistungen dieses grossen Geometers betrachtet wurde e .
’Xw .»!>: u. Diese Schrift beschlägt in Ed. Peyrard p. 116—22. — ft. Archi-medes ging nämlich hiefiir in folgender Weise vor: Ist <bca ein Drittel
eines Rechten, so ist ah == '/jhc. Unter dernatürlich zulässigen, aber von Archimedesnicht näher begründeten Annahme, es seibc — 306, hat inan nun ab = 153 und ac 5 =306 2 — 153- = 70227, folglich, da 70225 ^205' ä ist, ac 265
ab > 153
Ist aber cd die Bisectrix des Winkels bca,so hat man (55: d) snccessive
bc _ bdac da
cb -|- ac _ acbd -f ad ad
ac 571^ cd 2 ^ 571 2
ad > 153 ad 2 > 1 153 3
Da nun 153 3 + 571 2 = 349450 mul letztere Zahl sehr nahe dem Quadrate von591% gleich ist, so folgt somit
cd 591%_ad > 153
Snccessive neue Bisect.rissen ce, cf und cg ziehendentsprechende Weise nach und nacli
ca 1162%ae ^ 153
ce 1172%ae ^ 153
ca 2334%af > 153
cf . 2339%af > 153
ca 4673%au- ^ 1.53
oder endlich
96
ag 14C88
r, Aiinnli ^ h
Der letzte Winkel gca ist aber offenbar 'As eines Rechten, folglich die Hälftedes Centri-Winkels eines 96-Ecks, — also ist auch ag die halbe Seite, oder96 - ag der halbe Umfang eines 96-Ecks des Apotliemas ac. Es ist somit das
Apothema eines 96-Ecks in seinem halbenUmfange, und um so mehr noch der Durch-messer des eingeschriebenen Kreises in seinerPeripherie nicht ganz 3 1 / 7 mal enthalten, wo-durch offenbar eine obere Grenze für n gefun-den ist. — Um sodann noch eine untere Grenzezu bestimmen, ging Archimedes von demebenfalls '/ 3 R. betragenden Peripheriewinkelbac aus und erhielt, ab= 1560 annehmend,
in früherer Weise
ab _ 1560b c ”780
ac • 1351
bc < 780
und