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— Einige Vorkenntnisse aus der Geometrie.

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Subtensen ging er von schon früher (57 undspeciell 57 : 5) mitgeteilten, bereits Eukljdbekannten Sätzen aus, nach welchen, wenn Ein der Mitte von DG liegt, die Geraden AE\AB, BZ, EG und DZ der Reihe nach dieSeiten der eingeschriebenen regelmässigen 3-,4-, 5-, 6- und 10-Ecke vorstellen: Er hatteso folgeweise

St 3G° = ZD = Y 60 a + 30 ä ' —30= 37 p 4' 55" StGO° = G0 P 0' 0''

St 72 = ZB = J/ZD 2 + GO 8 "' = 70 32 3 St90 =G0 ■ ]/2 = 84 51 10

St 120 = AF = ]/90 a GO* — 30® =103 55 23

und, da die Quadrate der Subtensen supplementärer Winkel sich zum Quadratedes Durchmessers ergänzen müssen,

St 144°= y I20 a

-St 2 36 = 114” 7'37"

St GO° auch St 12° :

Ferner schloss Ptolemäus aus dem seinen Namen tra-genden Lehrsätze (57), dass, wenn die Sehnen a mul b,folglich auch die Supplementarsehnen a' und b' be-kannt seien, aus

a • b' = x • 2r + a' • b

die Sehne x der Differenz der beiden Winkel be-rechnet werden könne, — so z. B. aus St 72° und12 p 32' 5G". — Hierauf zeigte er, wie man aus der Sub-

tensa eines Bogens diejenige seiner Hälfte finden könne: Ist nämlich B6

gegeben, also auch A B, und ist D die Mittevon BG, so mache man AE = AB und zieh®DZi AG. Da nun AADEsADB, so i stauch DE = DB = DG, — also ist ZG ^ZE = y 2 (AG — AB) eine bekannte Grösse-Ferner ist ADGZcndADG, folglich DG 8 ^ZG • AG. So erhielt er z. B. aus St 12° sn®'cessive St 6° = 6” IG' 49“, St 3° = 3’’ 8' 28".St l’V» = l p 34' 15" und St 3 / 4 ° = 0 P 47'8“. — Ferner fand er, dass manaus den Subtensen zweier Bogen auch diejenige ihrer Summe finden kan«:

Sind nämlich die Subtensen AB und BÖgegeben, also als Supplementarsehnen auchBD und GE, sowie DE = AB, so kann ma 11nach der aus Viereck BGDE folgenden Be-ziehung

BD-GE = BG-DE + BE - GD

die GD, also auch ihre Supplementarsehne,die gesuchte AG, berechnen. Mit Hilfe diesesTheoremes erhält man aber successive alleSubtensen von 0°, 1 y 2 °, 3°, 4 1 ' a °, G°, etc., s °dass, um alle Subtensen von ’/ 2 zu '/a° Zl1besitzen, nur noch je zwei zwischenliegende fehlen, zu deren Berechnungman die Sehnen von 1° und 1 2 ° haben sollte. Zu Gunsten hievon leitete nu«Ptolemäus in scharfsinniger Weise noch als Hilfssatz ab, dass sich die Un-gleichheiten _ . _ . BG Arc-BG

B G > A B

und

AB < Are-AB