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— Die Sehnenrechnung; der Alten. —

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AG Z ADGAE < ZADE

entsprechen. Halbiert man nämlich ZABGdurch BD, so dass Are AD = Are DG, alsoauch AD — DG, — zieht DZ .1 AG, so dassAZ = ZG, — und beschreibt von D ausmit dem Radius DE den Kreisbogen HET,so hat man Sect. DET>ADEZ und Sect.DEH< ADEA, alsoZE _ ADEZ Sect. DE T_ ZJ3 DZ

E A ADEA < Sect . DK 11 = Z EDA

folglich die äussersten Werte um 1 vermeh-rend und dann noch doublierend,

oder

AE ^ Z ADEAG > “ZÄD G

Zieht man aber letztere Ungleichheit von 1 ab und multipliziert den Rest mitersterer, so erhält man unter Berücksichtigung, dass BD eine Bisectrix ist,

successive

BG EG ^ Z EDG ArcBGAG Z ADG AB AE < Z ADE ~ Are AB

w-z-b-w. Ist also z. B. AB — St und BG = St 1», so hat man

St 1» < — St 3 /,° = 1’’ 2‘ 50" 40'". Ist dagegen AB = St 1° und BCt= St lVj°,3 2

s o hat man St 1° > -- St l 1 ^ 0 — l p 2' 50" 0“'. Man hat also mit hinlänglicher

Annäherung St 1" = l p 2' 50", woraus St ‘i, 0 == 0’’ 31' 25" folgt, und dasProblem vollständig gelöst ist. — Die von Ptolemäus in dieser Weise für denganzen Halbkreis von zu Va° berechnete Tafel giebt überdies zur Er-leichterung der Interpolation neben jeder Sehne ihren Zuwachs für 1'. —Anhangsweise füge ich bei, dass sich im Almagest auch die für damaligeZeit schwierige Aufgabe „zwei Bogen aus ihrer Summe oder Differenz, unddem Verhältnisse der Sehnen der Doppelbogen zu bestimmen“ wesentlich infolgender Weise gelöst findet: Ist ab = m (also auch ae, oe und Zaoe)

und a u : b ß = n gegeben, sohat man m = ad + db, n =a«:b,9=ad:db, also m —n•db + db oder db = m :(n ± 1). Man kennt also auched — ae + db, folglich suc-cessive Aode, Zdoe, Zaodund Are ae, womit die Auf-gabe in der That gelöst ist.Abgesehen davon, dass dieseLösung später (88) Wichtig-keit erhalten wird, zeigt siell ns, wie schon Ptolemäus durch seine Untersuchungen zur Anwendung derVerhältnisse der Sehnen doppelter Bogen gedrängt wurde und so offenbarbereits nahe daran war, die Sinus einzuführen.

63. Die Goniometrie der Indier und Araber. — Inwieweit*^ e Indier Kenntnis von den Arbeiten der Griechen hatten, lässt8ic h kaum genau ermitteln; dagegen ist es sicher, dass sie schon