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Einige Vorkenntnisse aus der Geometrie.

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bald nach der Zeit von Ptolemäus selbständig vorgingen und sichnamentlich das grosse Verdienst erwarben, neben Sehne und Suppl e "mentarsehne eines Winkels auch deren Hälften, sowie die Ei“gänzungen dieser Hälften zum Radius, als Funktionen des halbenWinkels und dessen Komplementes, d. h. unsere Sinus, Cosinus,Cosinus versus und Sinus versus a , in die Rechnungen einzuführen,sowie für diese Grössen . erste Tafeln zu berechnen h . Als sodanndie Araber mit diesem Vorgänge bekannt wurden °, erkannten sienicht nur alsbald die Vorzüglichkeit der neuen Rechnungsgrössen,sondern fügten ihnen nach und nach auch noch einige neue, denVerhältnissen der Sinus und Cosinus unter sich und zum Radiusentsprechende Werte, unsere Tangens, Cotangens, Cosecans undSecans bei'*, — erhielten durch Einführung in die von PtolemäUS (61) erwiesenen Sätze und anschliessende weitere Überlegungen eineReihe von Beziehungen, welche unsern Formeln

Si 2 « -|- Co' 2 a — 1 Tg « = Si « : Co «

Cs « = 1 : Si a Se a — 1 : Co «

Ct« = Co «: Si« )

Tg « • Ct « = 1 |

1 + Tg* K = 1: Co 2 « Co a = 1: J/T+ Tg* « Si « = Tg « : J/T+Tg 2 « |r,- « i/l—Co« n u i/l+Co« „ « i/l—Co« 1—Co« Si«

a 2 = r 2-' C °2 = | / -V“ T «2 = Vt

T *2 =

1+ Co «

Sir

1+Co«

Si (« ± ß) — Si « • Co ß + Co

Tg(« + ö) = -^-"_±^gjü±W 1 + Tgn-Tg/J

u • Si ,9Si 2 «

Si a + Si ß = 2Si V 2 (« + /$)• Co l / t (a—ß)Co « + Goß= 2 Co y 2 (« + ß) • Co */ 2 (a— ß)

T„ a ~ß . To . _“ + ß __ Si« — Si ß_B 2 g 2 Si« + Si/9

Co (« + /?) = Co « • Co ß + Si « • Si ß j

= 2 • Si«-• Co « Co 2 « = Co 2 «—Si 2 rrj

Si « - Si ß = 2 Si'/, («— ß) ■ Co Vj (« + ß)Co « - Co ß=- 2 Si V* (« + ß) ■ Si V 2 («■- ß)

= Tg (x — 45°) wo Tg x = a -

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entsprechen ®, — ja kamen nach und nach dazu, nicht etwa,nui'die frühem Tafeln umzusetzen, sondern auch neue und schärfereMethoden aufzufinden, um solche selbständig zu berechnen t,

Kh 62 : a. Die Indier nannten die Sehne eines Winkels „jya“ oder „jiva“>— die halbe Sehne des doppelten Winkels aber eigentlich „ardhajiva“, jedochabgekürzt ebenfalls „jiva“. Letzterer Name ging sodann bei den Arabernlänglich in „dshiba“, später in „dscliaib (Busen)“ über, und letztere Übungführte im 12. Jahrhundert Plato von Tivoli darauf, in seinen Übersetzungenden Namen Sinus zu gebrauchen, der nunmehr im Westen, früher zuweilenunter Beilage von „primus“ oder „rectus“, allgemeinen Eingang fand. — Fürden Sinus des Komplementes benutzten die Indier den Namen „Kotijiva“,wofür im Abendlande, nachdem längere Zeit die Bezeichnungen „Sinus secundusund „Sinus Complementi“ gebräuchlich gewesen waren, der von Gunter K> 33in seiner „Descriptio“ vorgeschlagene Name Cosinus angenommen wurde. —"Für die Ergänzung der Kotijiva zum Radius endlich benutzten die Indier dieBezeichnung „utkramajiva“, wofür jetzt, nachdem zuweilen auch hiefiir der