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— Die Goniometrie der Indier und Araber. —

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Name „Sinus secundus“ gebraucht worden war, der von Apian gewählte NameSinus versus allgemein gebräuchlich ist. — Wie die Namen, so variierten imLaufe der Jahrhunderte auch die Symbole vielfach, und ich will daher fürein- und allemal bemerken, dass ich nach reiflicher Überlegung

Si für Sinus Co für Cosinus Tg für Tangens Sv für Sinus versus

Ct für Cotangens Se für Secans Cs für Cosecans Cv für Cosinus versusgewählt habe, da diese Symbole kurz sind, sich in den Formeln gut aus-nehmen und sich auch leicht mit andern Zeichen kombinieren lassen, wie die Bei-spiele: Asi für Arcus Sinus, Coh für Cosinus hyperbolicus, Ltg für Logarithmus

Tangens, etc., zeigen mögen. — b. DaAacd cs ecf, so ist nach Definition Si« —ad — ef, während Co « = Si (90 — «) —gh — cd = cf und Sv« = af. Nimmtman daher (59 : c) den Radius r = 3438' an,

1 )

f a

Si 30°

Si 2 « + Co 2 « = r 2 = 3438 2Sv a — r — Co « — 3438 — Co «

Ferner ergiebt sich, dass

Si = ei = V, J^ef 2_ + fä 2 = Vs ÜSi 2 « + (r — Co äy 2 = ]/\ a r (r — CÖÜ) 6so dass man nach 5 und 6 successive

Si 7° 30' = 449 Si 3° 45' = 225

Si 15° = 890

finden kann. Da nun 360 : 96 = 3" 45' = 225' ist, so fällt also von da ab (aufdie Minute genau) der Sinus mit dem Bogen zusammen, und es erhielt daherder 96. Teil des Kreises für die Indier (in ähnlicher Weise wie für uns Si 1“)eine besondere Wichtigkeit, so dass sie ihm einen eigenen Namen „Kramajiva(gerader Sinus)“ gaben, aus welchem später bei den Arabern durch Ver-stümmelung der sodann auch in das Abendland übergegangene Name Kardagaentstand. Die Indier wählten, sogar diese Kardaga als Einheit und drücktenin derselben die Sinus der 24 Vielfachen von 3° 45' aus, welche anfänglichihre Sinustafel gebildet zu haben scheinen. Dabei benutzten sie wahrscheinlichzur Erstellung dieser Tafel ähnliche Methoden wie die von Ptolemäus fürseine Sehnentafel gebrauchten, und fanden erst nachträglich auf empirischemWege, dass

Si (n + 1) • 225' = 2 • Sin • 225' — Si (n — 1) 225' — ■Sin ■ 225' 7

sei, — eine Formel, welche (nach 3') aus Si (n [ -1)« )- Si (n — 1)« = 2 • Si n « • Co «hervorgeht, wenn man « = 225' und annähernd Co« = l — (1 :ä«) setzt. Der1114 geborne Bhäskara soll sodann sogar eine Sinustafel für jeden Grad er-stellt haben, wofür er wahrscheinlich die von ihm in dem Kapitel „Liläväti“seiner Schrift „Siddhänta ciromani (die Krönung des Systems)“ mitgeteilte

Formel

s = 4d ■ b ■ (p — b) : [ 5 /j • p 2 — b (p — b)]

S

benutzte, in welcher s, b, d, p der Reihe nach Sehne, Bogen, Durchmesserand Peripherie bezeichnen, — eine Näherungsformel, deren bis jetzt nichtenträtselte Entstehungsgeschichte ganz interessant wäre, da sie merkwürdigerWeise der Cosinusreihe sehr nahe kömmt: Ist nämlich « der Winkel, welcher derSupplementarselme entspricht, so ist s = d ■ Co (4 a und b = (180 — «) • p : 360,and hiefttr geht 8, wenn schliesslich (58: d) für 180 der indische Wert |/l0eingeführt wird, successive in