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Einige Vorkenntnisse aus der Geometrie. —

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über, was sieh von der Cosinusreihe (40:8) nur dadurch unterscheidet, dassin letzterer den Faktor ‘.'384 besitzt. — c. Ziemlich gleichzeitig mit derfrüher (5) erwähnten „Sürya-Siddhänta“ erhielten die Araber (16) auch eineandere, etwa ein Jahrhundert später durch Brahmagupta verfasste „Siddhänta(Erkenntnis, Wissenschaft in encyklopädischer Form)“, von deren mathemati-schen Abschnitten seither Colebrooke in seiner „Algebra. London 1817 in 8 .“eine englische Übersetzung veröffentlichte, — und es war zunächst dieseletztere, respektive eine um 820 durch Mohammed ben Musa Alkliorizmi imAufträge von Almamun unternommene Bearbeitung derselben, durch welchedie Araber mit den eben besprochenen goniometrischen Arbeiten der Indierbekannt wurden, so dass wohl liiemit die frühere Annahme zusammenhängt,es habe Mohammed ben Musa den Sinus eingeführt. — d. Unter den alternArabern scheint namentlich Albategnius sofort die Vorzüge der neuen Rech-nungsgrössen erkannt zu haben; auch fügte er ihnen zu Gunsten der Gnomonikdie, auf den Schatten werfenden Stab als Einheit bezogene Umbra recta bei,welche wir jetzt nach dem Vorgänge von Gunter als Cotangente aufführen, —■ja berechnete diese Umbra für die Stablänge 12 und jeden Grad, so dass wirihm also auch eine erste Cotangententafel zu verdanken haben. Etwas späterzog ferner Abul Wefa den Schatten eines horizontalen Stabes auf eine vertikaleWand, die sog. Umbra versa, in Betracht, und berechnete für sie, dem Stabe60 Einheiten beilegend, ebenfalls eine Tafel, somit nach der bei uns seitFinke gebräuchlichen Benennung, eine erste Tangententafel; es ist sogar sehrwahrscheinlich, dass er auch unsere Secans und Cosecans einführte und be-rechnete, so dass die Araber mutmasslich sehen im 10 . Jahrhundert alle unseresog. trigonometrischen Linien und die zu ihrer Verwendung dienlichen Tafelnbesasseu. — e. Die Formeln 1 beruhen teils auf der Annahme, dass der Radius,für welchen früher nach dem Vorgänge von Apian der Name Sinus totusüblich war, gleich der Einheit sei, — teils auf den Definitionen; die 2 abergehen aus den 1 ohne die mindeste Schwierigkeit hervor. Von den 3 folgendie ersten teils unmittelbar durch Umsetzung der in 61 entwickelten Sätze, —teils aus der Betrachtung, dass ein Winkel gleichzeitig mit seinem Sinus dasZeichen wechselt; die letzten sind Folgen der ersten.Von den 4 endlich können die vier ersten entwederdadurch erhalten werden, dass man links u und ßdurch ihre halbe Summe und halbe Differenz aus-drückt und dann 3 anwendet, — oder, wie ich 1846(Grunerts Archiv 7) zeigte, aus der beistehendenFigur, in welcher ad = af und ac die Bisectrixvon Z f a d sein soll, da die Seiten links offenbarder Reihe nach durch 2 -bc, 2 ■ ch, 2 • ab und

— 2 • d h dargestellt werden; die letzte aber ist eine leichte Folge der erstem.

— f. Von den spätem Arabern erwarben sich Abul Wefa und Ibn Junis da-durch wesentliche Verdienste, dass sie die Sinus für jede. 10. Minute und bisauf Quinten genau berechneten und namentlich auch die nötigen neuen Me-thoden aufstellten, um die Sinus von %° und 1° mit grösserer Annäherungzu erhalten, als es Ptolemäus möglich gewesen war. So z. B. ging Abul Wefavon der nach 3 mit Si « • Co ß < Si u übereinstimmenden und daher für jededem ersten Quadranten angehörenden Werte von « und ß bestehenden Uu-