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— Die Goniometrie der Indier und Araber. —
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gleichlieit Si (« -j- ß) — Si a < Si u — Si (o — ß) 9
aus. Er erhielt nach derselben die Folge von Ungleichheiten
.... Si (« + 3 ß) — Si ( K -1-2/?) < Si (« f 2ß) — Si (« \ ß)< Si (« |- ß) — Si« << Si « — Si (« — ß) < Si (« — ß) — Si (« — 2 ß) < Si (« — 2 /?) — Si (« — 3,9) < ....konnte also schliessen, dass nur noch um so mehr die Ungleichheiten
Si (a + 3 ß) — Si (« + 2 ß) < Si (« + ß) — Si « < Si« — Si (« — ß)
Si (« + 219) — Si (« + ß) < Si (« + /9) — Si « < Si (« — /?) — Si (« — 2 ß)
Si (« + ß) — Si« = Si (« + /S) — Si « < Si (« — 2ß) — Si (« — iß)
bestehen. Durch Addition dieser letztem erhält man aber
Si (« + 3,9) — Si « < 3 f Si (« + ß) — Si «] < Si « — Si (« — 3/9) IOund somit für «= l3 / 3 , 0 und ß=
Si '"/„o - Si 13 / 3 ,° < 3 [Si 30' - Si 13 / 3 ,°] < Si lä / 3l 0 - Si 11
Da nun für so kleine Winkel die Sinns nahe proportional den Bogen gesetztwerden dürfen, so kommen sich wegen 18 — 15 = 15 — 12 der untere undobere Grenzwert so nahe, dass die Mittelgrösse unbedenklich gleich ihremMittel, also
Si 30' = Si *3 3 ,o + i- [Si “ „o - Si »,,.°] * *
gesetzt werden darf. Nun lassen sich aber nach der von Ptolemäus ange-wandten Methode die Sinus von 30 und G0°, folglich auch durch wiederholtesHalbieren diejenigen von 36 61 = 18 3 ., und 611 , 8 = 13 32 , und somit auch der-jenige von ‘* 3 , = 4 ( ls 32 — 13 3i ), mit jeder beliebigen Genauigkeit berechnen,folglich auch nach 12, mit der ihr zu Grunde liegenden, etwa bis zu einerEinheit in der 9. Decimale reichenden Sicherheit, Si 30' und sodann Si 1°,womit die bei Ptolemäus bestehende Schwierigkeit wirklich gehoben ist. —Anhangsweise füge ich noch bei, dass nach Burckhardt (Geogr. Epliem. IV 170)die Tafeln von Ulugh Beg auch eine von 0—45° reichende Tangententafel ent-halten, welche für jede Minute und den Kadius 60° bis auf Quarten geht.
63. Die Zeit von RMticus und Biirgi. — Leider ge-langten die Errungenschaften der Araber nur sehr langsam undfragmentarisch nach dem Abendlande“, und so mussten dort diePurbach , Regiomontaii und Coppernicus, da sie das Bedürfnis fühlten,genauere Tafeln zu besitzen, als solche durch Umsetzung der Ptole-hiäisclien Sehnentafeln erhältlich waren, dieselben nicht nur neuberechnen 6 , sondern sich auch die dafür nötigen und eigentlichzuna grossen Teil ebenfalls schon vorhandenen Hilfsmittel selbstschaffen, wobei dann allerdings gleichzeitig manche wertvolle Neben-resultate abfielen c . Während so diese Arbeiten nur in Einzelnheitene inen etwelchen Fortschritt repräsentierten und in anderm sogarhinter den Leistungen der Araber zurückblieben, so gelang es dagegenRhäticus und Biirgi, sowohl nach Methode als nach Ergebnis, überdieselben hinauszukommen. Die von erstem berechneten Tafeln sindals ein eigentliches Fundamentalwerk zu bezeichnen, auf dem zumTeil (24: c) die grossen Tafelnwerke des 17. Jahrhunderts basierten,l a durch diese einigermassen noch unsere gegenwärtigen Tafeln be-