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Die Zeit von Rhäticus und Bürgi. —

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darstellten, dessen Radius der angestrebten Genauigkeit entsprach, schon Rhäticusden guten Gedanken hatte, die Seitenverhältnisse am rechtwinkligen Dreieckein Betracht zu ziehen, wenn es auch noch nicht in der uns seit Euler ge-wohnten Form geschah, indem er einfach die Seiten seines „Triquetrum cumrecto“ als „Hypotenusa, Perpendiculum und Basis“ einführte, je die eine gleich1000 Billionen annehmend und die andern in dieser Einheit berechnend. Aller-dings ist es, wie ich schon 1841 betonte, entschieden noch besser, den Seiten-verhältnissen die Verhältnisse der Coordinaten (54) zu substituieren, um vonvornelierein den ganzen Winkelraum zu beherrschen, und so ohne weitereseinzusehen, dass den 4 Quadranten fürdie Punktionen Sinus Cosinus Tangens Cotangens

die Zeichenfolgen - -1- H-1- {-1-

und Grenzwerte 01 10 Ooo ooO

entsprechen, wo je die erste Grenze bei 0° und 180°, die zweite bei 90° und270° eintrifft, — dass diese Punktionen periodisch sind und (abgesehen vomZeichen) bei 180°—«, 180° + « und 300" — « je wieder die gleichen Werteannehmen, welche sie für « besassen, — dass man nur echte Brüche als Sinusoder Cosinus, dagegen jede Zahl als Tangens oder Cotangens betrachten, soz. B. immer

x = a-SiA y = a • Co A oder TgA = x:y a = ]/x' 1 + y* ffsetzen darf, — etc. — f. Die aus G2:3 leicht folgenden Formeln 1 wurdenetwa drei Jahre nach dem Tode von Rhäticus von Vieta in seinem „Canonmathematicus. Lutetia; 1579 in fol.“ ebenfalls gegeben, und da er in dem-selben auch Sinus, Tangens und Secans, ganz entsprechend wie Rhäticus, alsVerhältnisse von Perpendikel, Basis und Hypotenuseeinführt, so muss man fast annehmen, er habewenigstens die frühem Arbeiten desselben gekannt,wie dies bei Thomas Finke (Flensburg 1561 — Kopen-hagen 1056 ?; Prof. math. et med. Kopenhagen),als er seine „Geometria rotundi. Basileae 1583 in 4.“schrieb, nach dessen eigener Aussage der Fall war.Die aus 62 :1, 3 leicht folgenden und als Rechnungs-kontrolen schätzbaren Formeln 2 und die erste 3scheinen dagegen Vieta eigentümlich zu sein, wäh-rend die zweite 3 durch Finke aus beistehenderFigur, in welcher bd — bc und be = ec sein soll,abgelesen, und noch später von Stevin benutzt wurde, um eine Tangenten-tafel fast mühelos in eine Secantentafel umzusetzen. — </. Die „cossische“Methode von Bürgi bestand darin, dass er, wenn auch in etwas mühsamererWeise (vgl. Asti*. Mitth. 31 von 1872) als es später durch Euler (57 : 6 u. f.)geschah, Beziehungen zwischen der Sehne eines Bogens und derjenigen einesbeliebigen aliquoten Teiles (entsprechend der Regiomontan’schen 5 für ’/ 3 )anfstellte, — das allgemeine Gesetz derselben erkannte, wie es durch um-stehende Tafel (in welcher Nro. 3 mit 57 : 8 und Nro. 8 mit 57 : 9 überein-stimmt) repräsentiert wird, — und diese Beziehungen vor- und rückwärts,d. h. zum vervielfachen und teilen zu benutzen wusste. Kannte er z. B. dieSubtensa a eines Bogens, so entnahm er seiner Tafel, dass ihm die Gleichungenx, = 9 ■ a — 30 • a 3 + 27 • a 5 — 9 ■ a 7 + a 9x 2 2 = 36 • a 2 — 105 • a 4 + 112 • a 6 — 54 ■ a 8 + 12 • a 10 — a 12die Subtensen des 9- oder G-fachen Bogens, und

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