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Einige Vorkenntnisse aus der Geometrie. —

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bestehen, nach welchen sich die Logarithmen der Sinus und Cosinusmit Hilfe von 39 : 3 unmittelbar berechnen lassen b . — Endlich magnoch Erwähnung finden, dass, infolge der namentlich durch und seitEuler erreichten Leichtigkeit im mathematischen Schreiben undUmgestalten, das Aufstellen goniometrischer Formeln zum leichtenSpiele geworden ist c und so z. B. die Beziehungen

= Atg y, + Atg Vs :

: Atg y, + Atg */ 5 + Atg </ 8 = 5 Atg y + 2 Atg 3 / 79

= 4 Atg ‘/ 5 — Atg t'jjj = 2 Atg % + Atg </ 7 = 4 Atg ‘/ 5 — Atg >/ 70 + Atg V 99etc., erhalten wurden, welche in Verbindung mit der umgekehrtenTangentenreihe (40:17) viel leichtere Mittel zur Berechnung von ^geben, als die früher (59, 60) dafür benutzten centrischen Vielecke d -

Xu 64: n. Euler, der schon 1739 unter dem Titel „Methodus facili 5computandi angulornm Sinus ac Tangentes tarn naturales quam artificialeseine betreffende Abhandlung geschrieben hatte, welche aber erst 1750 in denPetersh. Comment. jenes Jahres erschien, gab 1748 in seiner „Introductio“ di®beiden Reihen 1 bis auf 28 Decimalen und bis zur 30. Potenz von m, so dassman nach ihnen jede wünschbare Genauigkeit erlangen konnte: — b. Für dieAbleitung der ebenfalls von Euler zuerst aufgestellteu 3 vgl. Kap. 9 von dessen„Introductio“, sowie die neuern Lehrbücher der Analysis. — c. So z. P>. 1 |C 'stehen die.nach dem frühem leicht zu verifizierenden Beziehungen

1 Si v = 2 Co-(45° — y 2 9 ) l — Si y = 2 Si ä (45° — 1 ä v ) 5

Co (45" — y ä q>) — Si (45° — y, ip) = J/2 • Si 1 2 <f Si (45» ± <*>) = Co (45» T <r)

Co 3 <p — Si 3 q> = (Co q, — Si <p) • (1 — ’/ 8 Si 2 <p) 6

Si a • Si (b — c) + Si b • Si (c — a) + Si c • Si (a — b) = 0 j

Co a • Si (b — e) + Co b ■ Si (c — a) + Co c • Si (a — b) = 0etc., etc. — d. Für m — 1 folgt aus 3'

- 7= 2 rl:lÄ:*

eine schon von Wallis aufgefundene, höchst merkwürdige Faktorielle, wel<d> eaber so wenig als der von Lord Brouncker ungefähr gleichzeitig gegeben 6Ausdruck a

y 4 » = 1 : [1 + 1 : (2 + 9 : (2 + 25 : (2 + 49 : (2 + • • •))))] 9

für die wirkliche Berechnung von n taugt, da die Konvergenz eine gargeringe ist. Setzt man dagegen mit Euler (Introd. I 10G) 45°=a + b undTg a = 1 ä , so giebt 62 : 3, da Tg 45» = 1 ist, 1 = ('/ s + Tg b): (1 — Tg b) <>deiTgb= '/ 3 , womit die erste der 4 erwiesen ist, und aus dieser folgt (40: Ul

sofort

! = 4

- + ■

• + -

+ •

1 o

1-3 3 • 3 3 5 • 3 5 7 • 3 7 1 9 ■ 3»

d. h. eine Reihe, woraus sich schon unter Anwendung von nur 7 Gliedern d ® 1ersten und 5 Gliedern der zweiten Zeile der ganz brauchbare Wert n = 3 , 141 ^^ergiebt. Zum Teil noch wesentlich rascher führen andere der 4, welche siin lt 'lieh ganz entsprechend erhalten und benutzt werden, zum Ziele, und eSscheinen diese Verfahren in der neuern Zeit ausschliesslich angewandt word ® 11