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— Einige Vorkenntnisse aus der Geometrie.

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<J5. Die ebene Trigonometrie vor Euler. — NachdemPtolemäus seine Sehnentafel erstellt hatte, konnte er dieselbe auchfür Berechnung des ebenen Dreieckes verwerten: Da sich nämlich(55) um jedes Dreieck ein Kreis beschreiben lässt, so ist jede Seitedie Sehne des doppelten Gegenwinkels und es besteht somit die,zuweilan fälschlich nach Snellius benannte, Analogie „Zwei Seiteneines Dreiecks verhalten sich wie die Sehnen der doppelten Gegen-winkel“ oder also „wie die Sinus der Gegenwinkel“; da er überdiesjedes Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke Zerfällen konnte undsowohl mit dem pythagoräischen Lehrsätze, als mit dessen Ei"Weiterung auf das schiefwinklige Dreieck, bekannt war, so besasser bereits die Mittel, alle Aufgaben der sog. ebenen Trigonometriezu lösen. Eine wertvolle Ergänzung bildet immerhin die nach Heronbenannte Regel, dass ein Dreieck der Seiten a, b, c und des halbenUmfanges s = Vs (a + b + c) die Fläche

f = Vs • (s — a) ■ (s — b) • (s — c) t

besitzt“, welche in Verbindung mit der von Regiomontan zuerstaufgestellten Regel

f = - ° • Si A uns Si A = -- • Vs (s — a) (s — b) (s — c) '*

ergiebt, an welche Formel sich noch die weitern

S .A jVs-.bKs -e) ( . 0 A ,.'s(s-aj A_ m,s-.|.,)(s e)

2 ' b-c 2 'b-c b 2 ' s ■ (s — a)

anschliessen ft , sowie die merkwürdige Analogie

(a + b) : (a - b) = Tg % (A + B) : Tg % (A - B) *welche den Namen von Finke tragen sollte c .

Kn CS: a* Die Fläclienregel 1der von ihm etwa ein Jahrhundert

C

GF K

FOD + DOE) — AOB = AOFAABJ^dCDO, während ohnehin l

wurde durch Heron von Alexandrien inv. Chr. verfassten und noch später ( 330 )zu besprechenden Schrift „Dioptra“ mit'geteilt und wesentlich in folgenderWeise abgeleitet: Ist r der Radius desdem Dreiecke ABC eingeschriebenenund auf dessen Seiten die Segmentea, ß, y bestimmenden Kreises, sowieBII = y oder AH=K-)-/5 + y = s, s °j hat man

f=? L+ . j?-l- G . r = g . r= 2 .fl A0 H *

Zieht man aber 0 J ± A 0 und B ,T i. A B>so ist A ,T der Durchmesser einesdurch 0 und B gehenden KreiseS, al s °Z A.TB = 180" - AOB = % (EOF +f BOB + COD — AOB = COD, folglich^BK.TcoFKO. Man hat daher (« + ß) ■ y ^