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— Einige Vorkenntnisse aus der Geometrie. — 70

Punkten E oder eine Kurve (nach 70 eine Parabel) erhält, welcher die Gleichungy 2 = (x + '/.j p) 2 — (x — Vj p) 2 = 2px entspricht. Will man zu E einen benach-barten Punkt erhalten, so muss man offenbar x und FE um dieselbe kleineGrösse vermehren,.— also hat E nach FE und nach IIE || BJ dieselbe Ge-schwindigkeit, — somit halbiert die Resultierende den Winkel HEF , — folg-lich ist die Bisectrix E C dieses Winkels die Tangente in E. Da aus dieserKonstruktion die in die Figur eingetragenen Winkelbeziehungen folgen, soist CF = FE = B.T, also die Subtangente C.T = CF -|- FJ = BJ + F.T =(x + ‘. a p) + (x — 1 a p) = 2x. — b. Um die den Krümmungskreis (circulus oseu-lationis, — früher auch: küssender Circul) bestimmenden 4 zu erhalten, seienx, x - (- i, x — i die Abscissen dreier benachbarter Punkte einer Kurve y == f (x).Man hat dann offenbar, wenn A, B die Mittelpunkts-Coordinaten und R denRadius des durch die drei Punkte bestimmten Kreises bezeichnen, nach dempythagoräischen und Taylor’sclien Lehrsätze

[x — A] 2 + [f (x) — B] 2 = R 2 = [x ± i — Al 2 + [f (x ± i) — B] 2 = ?

= [x + i - A] 2 + [f (x) ± i • f' (x) + % i 2 • f" (x) ± -B] 2

oder, wenn man die Quadrate ausführt, reduziert, durch +2i teilt undschliesslich i = 0 setzt,

0 = x - A + [f (x) - B] • f (x) ± V, fl L f' (x) 2 + (f (x) - B) • f" (x)] »

Schreibt man aber die 8 für beide Zeichen auf, addiert und subtrahiert die-selben und berücksichtigt 7, so gehen die 4, welche ich zuerst in dieser Formauf pag. 170 der 1813 durch Lagrange veranstalteten neuen Ausgabe seiner„Thdorie des fonctions analytiques“ gefunden habe, ohne weiteres hervor. —c. Schon Huygens zog die Osculationsverhältnisse in seinem „Horologium os-cillatorinm 11 , wenn auch zunächst nur in Beziehung auf die Cycloide (80), inBetracht, und seine „Descripta ex evolntione“ ist nichts anderes als unsereEvolvente. Später wurden sie namentlich von Leibnitz (Acta Ernd. 1080) undJak. Bernoulli (Acta Ernd. 1092—94) behandelt, — sodann wieder durch Euler in seiner „Introductio“, — und seither in jedem betreffenden Lehrbuche.

*S1. Die Rektifikation und Quadratur. — Für die Be-stimmung der Länge s eines Kurvenstiickes, oder für die sog-Rektifikation, bestehen, je nachdem man rechtwinklige oder Polar-coordinaten anwendet, die Formelnb ß

s — J J/T -{“"p* - dx = J Ir*-f~q* • dv wo p — ^ q — 1

a „

ist, a und b, oder a und ß aber »die dem Bogen zukommendenGrenzwerte von x oder v sind ". — Ebenso erhält man für dievon einem Kurvenstücke und zwei Ordinnten oder zwei Radien vec-toren eingeschlossene Fläche f, oder für die sog. Quadratur, dieFormeln i> ß

f=/y.dx = V,/e,lv *

a a

in welchen a und b, oder n und ß wieder die obige Bedeutung be-sitzen— Zum Schlüsse mag noch angeführt werden, dass ma' 1