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— Die Rektifikation und Quadratur.

die nach 1 und 2 nötig werdenden Integrationen durch mechanischeMittel zu ersetzen gesucht hat, — die Rektifikation durch sog.

Curvimeter, — die Quadratur durch sog. Planimeter e .

Ku • I : «.Da sicli unmittelbar aus der beistellenden Figur_ergiebt, dassdas Bogenelement As > ae = ]/Äx 3 + Ay 3 ist, undebenso dass As<ad + de = Ax• Se<p + Ax-Tgy— Ay

sein muss, so hat man

< l/l -I- Tg 3 <p + Tg v

foiglieli, wenn man zu den Limes (41) übergebt und

berücksichtigt, dass in diesem Falle auch Tg <p pwird, ds = j/l + p 3 ’ dx, woraus sofort 1‘ folgt. Durch

x

ganz entsprechende Behandlung wird ds 3 = r 3 • dv 2 + dr 3 und somit 1" er-halten. — Diese allgemeinen Formeln 1 ergaben sich natürlich den erstenBearbeitern der Infinitesimalrechnung fast von selbst, während früher ausserdem Kreise nur einige wenige einzelne Kurven, wie z. B. die Cycloide (80)rektifiziert werden konnten und für jede solche Operation ein Specialverfahrenansgedacht werden musste. Für einige betreffende Proben, sowie für An-wendungen der 1, wird auf spätere Sätze verwiesen. — b. Ganz entsprechendergiebt sich aus obiger Figur, dass das von der Kurve, den Ordinalen y undy + Ay und dem Stücke Ax der Abscissenaxe eingeschlossene FlächenelementAf zwischen y • Ax und (y + Ay) • Ax liegt, dass also, wenn man zu denLimes übergeht, df = y ■ dx wird, woraus 2 1 folgt, — während in ähnlicherWeise für Polarcoordinaten df = l /. z ■ r 3 ■ dv und damit 2' erhalten wird. —Die historische Entwicklung der Quadratur läuft mit derjenigen der Rektifi-kation parallel, und auch die Schlussanmerkung bei a hat für die Quadraturebenfalls Giltigkeit. — c. Während dem Gedanken, die Länge einer krummenLinie dadurch zu bestimmen, dass man derselben mit einem Laufrädchen folgeund dessen Bewegungen durch ein Räderwerk auf ein Zeigerwerk übertrage,wohl schon längst in Ausführung sog. Curvimeter Folge gegeben wurde, —sind dagegen die sog. Planimeter, welche eine Fläche durch Umfahren der-selben ermitteln, ein Produkt der neuern Zeit: Zuerst (1814) scheint .Toh.Martin Hermann ■ (Pfronten bei Füssen 1785 — München 1841; Trigonometer)ein liiefür bestimmtes Instrument ausgedacht zu haben; dann folgten raschaufeinander (1824) Titus Gonnella (Florenz 1794 — ebenda 1867; Prof. math.et mech. Florenz ) und (1826) Johannes Oppikofer (IJnter-Oppikon im Thurgau1783 — Frauenfeld 18G4; Strasseninspektor in Bern und Thurgau ), welche,ohne nachweisbaren Zusammenhang mit Hermann oder unter sich, ganz ähn-liche, sich an 2' anschliessende Ideen zur Ausführung brachten, — und schliess-lich erfand (1855) Jakob Amsler (Stalden bei Brugg 1823 geh.; erst Prof,math., dann Mechaniker in Schaffhausen ) einen 2" ersetzenden, zierlichen undrelativ billigen Polarplanimeter, der bereits eine weite Verbreitung gefundenhat. Für weitern Detail über die Erfindungsgeschichte, Beschreibung, Theo-rie, etc., dieser Planimeter verweise ich auf die betreffenden Mitteilungen vonJohannes Wild (Richtersweil 1814 geh.; Prof. geod. Zürich ; vgl. Verb, techn.Ues. Zürich 1848), R. Wolf (Bern . Mittli. 1851, Note 197, Ilandh. I 192—94),J- Amsler (Zürcli. Viert. 1850), M. Bauernfeind (Dingler 137), Chr. Trunk (DiePlanimeter, Halle 1865 in 8.), E. Fischer (Schweiz , polyt. Z. 1808), A. Favaro(Beiträge zur Geschichte, Wien 1873 in 4.), etc.