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— Einige Vorkenntnisse ans der Geometrie.

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7 3. Der Punkt der mittler» Entfernungen. — Hat man

ein System von Punkten (x, y) und versteht unter Moment einesPunktes in Beziehung auf eine Gerade das Produkt seines Abstandes Svon der Geraden und einer beliebigen ihm zugeteilten Konstante m,so besitzt der Punkt

x = 2' mx : 2' m y = 2' my : 2' m I

die Eigenschaft, dass, wenn man ihm 2m als Konstante znordnet,für jede Gerade sein Moment gleich der Summe der Momente alle 1 ’Punkte des System es ist". Er heisst Punkt der mittlern Entfernungenoder Schwerpunkt, — jede durch ihn gehende und daher Null alsMomentensumme besitzende Gerade aber Schweraxe h . — Wähltman den Schwerpunkt als Anfangspunkt der Coordinaten und be-zeichnet die Abstände der Punkte des Systemes von demselben mitr,, r ä ,..., ihre Abstände von einem andern Punkte (a, b) dagegenmit p,, p. 2 ,..., den Abstand des letztem vom Schwerpunkte ahm’mit r, so erhält man die merkwürdige Beziehung

2' m • p 2 = 2' m • r 2 -+- r 2 • 2' m ®

welche oft mit dem Namen von Steiner belegt wird Haben allePunkte gleiche Konstanten oder gleiches Gewicht, so ergiebt. 2,dass die Quadratsumme ihrer Abstände vom Schwerpunkte ein Mini-mum ist. — Da sich zu jedem Punkte einer Geraden ein zweiterfindet, welcher zu deren Mitte symmetrisch liegt, so fällt der Schwer-punkt einer gleichförmig belasteten Geraden in ihre Mitte und hateine ihrer Länge proportionale Konstante. Ein Dreieck kann mansich aber als eine Folge von Parallelen zu einer Seite denken, undda die sämtlichen Schwerpunkte dieser Parallelen in die Gerade falletwelche die Mitte jener Seite mit der Gegenecke verbindet, so istsomit diese letztere Gerade offenbar eine Schweraxe des Dreieckesund es fällt daher dessen Schwerpunkt mit dem bereits früher (5°)so genannten Punkte zusammen. Der Schwerpunkt eines Vierecksoder Vielecks wird sich finden lassen, indem man dasselbe durchDiagonalen zweimal abteilt, je die Schwerpunkte der Teile aufsuchtund diese verbindet. II. s. f. — Der Schwerpunkt des früher (70berechneten Bogens s hat nach 1 die Coordinaten

b b

a ,f x d 8 y = Y-Jyds 3

X -

derjenige der früher (71) berechneten Fläche f aber, da der Schwer-punkt des Elementes df in die Höhe */ a y fallen muss,

r 2 ■ di

x = yjx-y-dx y - J f J'y

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womit wohl die Schwerpunktsbestimmung genügend absolviert ist-