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Die Ellipse.

199

Tg (90»-(-fl;

oder

2 b’-

-W ■ Tg «

bestimmt ist, so erhält man die neue Ellipsengleichung

schiefwinklige auf irgend zwei konjugierteAxeu, d. h. setzt mail in 1'

x = x' ■ Co u — y‘ • Si ßy = x‘ • Si u -|~ y‘ ■ Co ßein, wo « ein beliebiger Winkel, dagegenß nach 73 : 8 (unter Vergleichung von 1' und73 : 1) durch

Tg ß 2

1

b 2

• Tg «

I S

" fir + S f“) + t> & + ^ — *x'y* P fßt - m*)

Bezeichnet man aber die halben konjugierten Axeu mit a' und b', so hat man,da ihre Endpunkte V unterliegen,

/Co 2 a Sl* «\

h=-. '-fI"

Si 2 n\ „ , /bi* « . oo‘«\

b 2 ) ' 6 '' ( a ! + b 2 ) :

während nach 18 der Faktor von x' • y' verschwindet. Es besteht somit auchnoch für konjugierte Axeu die 1' entsprechende Gleichung

et ' 2 + b ' 2

Aus 19 und 18 folgen ferner

19

20

a 2 • b 2

a 2 • Si 2 <

b' 2 :

(- b 2 Co 2 a

•b 2

a 4 • Co 2 ^ -|- b ‘ • Si 2 ßa 2 • Co 2 ß + b 2 • Si 2 ßa'-Si 2 « + b 4 Oo 2 «

21

a 2 Si 2 « + b 2 Co 2 «

a 2 Co 2 ß + b 2 Si 2 ßund hieraus geht durch Addition

a 12 + b' 2 = a 2 + b 2

hervor, so dass, wie schon Apollonius lehrte, die Quadratsumme der Halbaxenkonstant ist. Da ferner 6 = 90 — (ß — «) ist, so folgt aus 18 und 21

Co a 4- Si u ■ Tg ß _ a ■ b T<>- 0 — a ~' Tg 2 « + b 2

. b' * ~

Si 0 ;

22

2*

]/l +"Tg 2 ß a' ■ b' (a 2 — b 2 ) • Tg «

uud aus ersterer Formel geht der ebenfalls schon Apollonius bekannte Satzhervor, dass die Fläche des durch zwei konjugierte Axen bestimmten Parallelo-grammes konstant ist. — Verbindet man einen Ellipsenpunkt mit den Schei-teln einer der Hauptaxen, so erhält man zwei sog. Supplementärsehnen,deren jede halbiert wird, wenn man durch den Mittelpunkt eine Parallele

zu der andern zieht: Diese Parallelen sindalso offenbar (73) konjugierte Axen, undman kann daher sehr leicht zu einer Axedie ihr konjugierte Axe konstruieren. —Für die Sätze von Pascal und Brianchonauf das frühere (57) verweisend, füge . ichnoch bei: Zieht man in der Distanz d vomMittelpunkte A eine Senkrechte zur grossenAxe, so wird diese von der letztem in Q,von einer um a zu der grossen Axe geneig-ten Axe in a, und von der zu dieser kon-jugierten und mit ihr nach oben den Winkel« -f 90 — ß bildenden Axe in a' so ge-schnitten, dass mit Hilfe von 18

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