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Einige Vorkeimtnisse aus der Geometrie. —

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d 2 • b 2

also QaxQa'

d-Tg (90 — ß)

Qa == d • Tg

a 2 • Tg

ist. Es sind also (57) a und a' konjugierte Punkte, — folglich bestimmen dreiPaare konjugierter Axen 6 in Involution stehende Punkte und Q ist derCentralpunkt derselben. Zieht man mit beliebigem Radius r aus einem Punkte0 von AQ durch A einen Hilfskreis, der die konjugierten Strahlen in B und 0schneidet, so bestimmt BC auf AQ einen Punkt P, zu dessen Bestimmungman x: AB = Co «': Co («' — «) hat, so dass mit Hilfe von 24

AB: Co« 2r-a 2

1 + Tg « • Tg «' a 2 + b 2

folgt, somit P für alle Paare konjugierter Axen unverändert bleibt oder (57)

Pol der Involution ist.

¥5. Die Quadratur und Rektifikation der Ellipse. —

Die Quadratur der Ellipse bietet gegenwärtig keine Schwierigkeitenmehr dar, indem man nach den allgemeinen Formeln (71) fastunmittelbar a

findet, wo a und ß die Abscissen bezeichnen, deren zugehörigeOrdinaten die Fläche begrenzen. Versteht man ferner unter f' dieFläche eines senkrecht zur grossen Axe abgeschnittenen Ellipsen-segmentes , und unter F die Fläche der ganzen Ellipse, so erhältman aus 1 sofort 6

^ — « fV — « 2 J

H

ST . . CC

F = a • b • n 3

a

Schwieriger gestaltet sich die Rektifikation, wo sich kein ge-schlossener Ausdruck finden lässt, sondern die Integration durchAuflösung in Reihen vermittelt werden muss; aber immerhin hatschon Euler auf letzterm Wege®, wenn s den vom Scheitel dergrossen Axe und einem Punkte, dessen Normale mit ihr denWinkel cp bildet, begrenzten Ellipsenbogen bezeichnet, die raschkonvergierende Reihe

s = a (1 — e 2 ) (« • cp — ß ■ Si 2 <p —)- y ■ Si 4 cp — • • •)

wo J5

’/söfi® 4 h

l + , / 4 eM- 45 /o. 4 e 4 +

ß == 78 e^~1“ 4 732 e4- f“

erhalten, aus welcher, wenn cp — V 2 n gesetzt wird, für den Ellipsen-quadranten die Länge

a (1 — e 2 ) « Ti2

(1- Y«e !

folgt d .

5Eu 7.%: a. Nach 71:2', 74:10 und 46:12 erhält man successive

I ft* * r

f—J y • dx = — J ]/a' 1 — x 2 • dx = — -- |^x j/a 2 — x 2 + a 2 • Asi ■—J