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— Die Quadratur und Rektifikation der Ellipse. —

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und hieraus unmittelbar 1. — b. Für ß = a geht hei Dublieren 1 in 2' über,und dieses für a = 0 und nochmaliges Dublieren in 2". — c. Mit Benutzungvon 74:15 wird das Bogenelement

ds = R• d<p = a(l f d• Co 2 ^)“% • d 7 , = a j^l + ^ d* ■- 5 d• Co 2 <p + jj! d 3 • Co4y - •• jworaus durch Integration zwischen den Grenzen 0 und 9

s = a[(l + ||d*) v -1- d- Si 2» + -Jgd* - Si 4 <jp- ] 5

folgt, wo nach 74 :12 mit Hilfe von 74: 2

15 .

a (1 — e 3 ) ,

a= -^- = «0

(1— ‘/z e 2 )

■*>(

l+|e*

32

+■■)

4 ’ 4 e *

4 - -6

ist. Substituiert man letztere Werte in 5, so geht unsere 3 hervor. — d. Diedurch die Rektifikation der Ellipse veranlassten Untersuchungen führten nachund nach auch zur Betrachtung verwandter Integrale und es entstand soschliesslich die Lehre von den elliptischen Funktionen, für welche jedoch hierauf die betreffenden Specialschriften verwiesen werden muss, wie namentlichauf „Legendre , Traite des fonctions elliptiques. Paris 1825—28, 3 Vol. in 4., —Abel, Recherches sur les fonctions elliptiques (Grelle 11 von 1827 und später),— Gustav Jakob Jacobi (Potsdam 1804 — Berlin 1851; Prof, inath. Königsberg ,dann Akad. Berliu; vgl. Dirichlet in Berl. Abli. 1852 und: Gesammelte Werke,Berlin 1881—86, 4 Yol. in 4.), Fundamenta nova theorise funetionum ellipti-carum. Regiomonti 1829 in 4., — Durege, Theorie der elliptischen Funktionen.Leipzig 1861 in 8 . (4. A. 1887), — Karl Heinrich Schellbach (Eisleben 1805geh.; Prof. math. Berlin ), Die Lehre von den elliptischen Integralen und denThetafunktioneu. Berlin 1864 in 8 ., — Alfred Enneper (? — Göttingen 1885;Prof. math. Göttingen ), Elliptische Funktionen: Theorie und Geschichte. Halle1876 in 8 ., — G. H. Halphen, Traite des fonctions elliptiques et de leurs appli-cations. Vol. 1 . Paris 1886 in 8 ., — etc.“

Die Parabel. — Für die Parabel bestehen (73) die zweiGrundgleichungen

y a = 2px r = i+ E, o - v = ,S 8 *i = q-|-x 1

y on welchen sich die erste auf den Scheitel, die zweite auf denBrennpunkt bezieht, und in welchen p den Parameter, q = ’/aPdie Periheldistanz repräsentiert. Ferner erhält man für sie (70 : 1—4)ftir Tangente, Normale und Krümmungskreis a

y-y /= =

p

y

(X - X')

y —y' =

y

p

(X - X')

%

Tang. = 21 / x(x-i-q), Norm. = 2 J/q(x-f-q), Subt. = 2x, Subn. = p

A = 3x -|- p

E 2 = (2x + p) 3 = 44P q

S

Bezeichnet s den vom Scheitel aus gemessenen Parabelbogen, F dievon ihm, Ordinate und Axe eingeschlossene Fläche, und f =— Va y ( x ~ q) den entsprechenden Parabelsector, so ist 6