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— Einige Vorkenntnisse aus der Geometrie. —

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Wenn man also zwei Punkte A und B der Parabel, sowie ihren sog. Vertex Dkennt, somit auch t, u und u, so kann man nach 11 und 12 die q, y und xberechnen, also Hauptaxe, Scheitel und Brennpunkt linden. — Geht AB durchden Brennpunkt, so fallt M mit P zusammen, also wird D F = u, folglich,

nach 11, t 2 = 4u • u oder t = 2u. — Bezeich-net S die Fläche des durch die Sehne AB g e "bildeten Parabelsegmentes und A diejenige deseingeschriebenen, wie man zu sagen pflegt,mit dem Segmente gleiche Basis und Höhe be-sitzenden Dreieckes AY B , — und setzt mauA = x 2 y 3 — x, y, B = (x 2 — x,) (y t -f y,) **so ergiebt sich nach 5 1 und 1

q_ y a 3 -yi 3 yi+jj,

2

A =

y, + 1 ,

(U —X,) -I

*i + ya

3p

(x 2 — u) •

(x 2 -x,) = V 3 A-V 2 B

l k B = y

■|b = 3 / 4 s

1Ä

d. h. der merkwürdige Satz, mit welchem Archimedes seine klassische Schrift„Quadratur» Parabol» (Ed. Peyrard 318—47)“ abgeschlossen hat. Ferner kannman nach 14 auch die beiden durch AV und BV bestimmten Segmente be-rechnen und so deren Gleichheit erweisen, und damit zugleich, dass V Mnicht nur das Dreieck, sondern auch das Segment AVB halbiert. Da fernerA = t • u ■ Si «, so folgt nach 15

S = V 3 t-u-Si« 1®

Ist nun FN || AB und bezeichnet man Dreieck AFB mit f, so hat man (daFN als Parallele zur Tangente durch die Normale von V unter rechtemWinkel halbiert werden, also V N = r sein muss)

t-MN-Si« _.

= t (r — u) Si k

f = AANB = 2--

.2

und daher endlich, mit Hilfe von 16, den ParabelsectorP = S + f = t (r + V 3 u) • Si u

eine Formel, von der wir später (495) Gebrauch machen werden.

I*

7 7 . Die Hyperbel.

drei Grundgleichungen

Für die Hyperbel bestehen (73)

r

6-

1

2px

P

1 + e • Co v

die

1

von welchen sich die erste auf den Mittelpunkt, die zweite aufden Scheitel und die dritte auf den Brennpunkt bezieht, währende :> 1 und r, — r 2 = 2 a ist. Sie besteht offenbar aus zwei un-endlichen Ästen, welche sich den durch den Mittelpunkt unter demWinkel a = Atg (6 : a) zur grossen Axe gezogenen Geraden, densog. Asymptoten, fortwährend nähern, ohne sie je zu erreichen "■Bezeichnen x, und y, die auf diese Asymptoten bezogenen schief-winkligen Coordinaten eines Hyperbelpunktes, so ergiebt sich aus 1die merkwürdige, sog. Asymptotengleichung

*i • Yi = l U (fl 2 + & 2 ) ®