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— Die Hyperbel. —
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deren Konstante Potenz der Hyperbel genannt wird 6 . — In demSpecialfalle a = f>, wo die Hyperbel gleichseitig lieisst, wird
a = 45° x, • y, = V 2 Ct 2 3
Es stehen somit die Asymptoten zu einander senkrecht, und wenn®an die durch Hyperbel, Asymptote und die den Abscissen a und bßntsprechenden Ordinaten eingescblossene Fläche mit F bezeichnet,s o hat man nach 3 und 71 : 2
b b
F = ^y 1 -dx 1 =
a
Es sind also solche Flächen den natürlichen Logarithmen propor-tional und es hat somit eine gewisse Berechtigung, letztere als
hyperbolische Logarithmen zu bezeichnen.
SBu 77 t a. Die Grundeigenschaft der Asymptoten (von ’Aovft.; rraro? — nicht
zusainmenfallend) beruht darauf, dass aus 1‘
y = ±~l/x a — a a < ± ■ x = ± x • Tg « 5
folgt. — b. Die 2 wird erhalten, indem manx = (y, hx,) Co« y — (y, — x,)Si«in I 1 einführt. — Da sich die Flächen zweiergleichwinkligen Parallelogramme wie die Pro-dukte ihrer Nebenseiten verhalten, so geht aus 2unter andern hervor, dass alle zwischen den Asymptoten liegenden Parallelo-gramme, hei welchen die Gegenecke des Mittelpunktes in der Hyperbel liegt,gleiche Fläche besitzen.
¥ %. Die hyperbolischen Funktionen. — Bald nachdemRiccati und Daviez de Foncenex auf verschiedene Analogien hin-gewiesen hatten, welche zwischen Beziehungen am Kreise und ander gleichseitigen Hyperhel bestehen “, wurde auch Lambert aufdiese Verhältnisse aufmerksam und bearbeitete sie in einer Weise,dass die Neuzeit nur wenig wesentliches beizufügen hatte 6 : Nichtn ür führte er (entsprechend wie ßiccati) die Hyperbel-Coordinateny) x und ihr Verhältnis y:x als hyperbolische Sinus (Sih), Co-8l nus (Coh) und Tangens (Tgh) der Doppelfläche <p ein, — sondern erhatte auch den trefflichen Gedanken, a als AngulilS communis und i//a L Angulus transcendens beizuziehen, so dass er über die RelationenSih cp — Tg y Coh <p — Se y Tg a = Si y
Tgh cp — Sih cp : Coh cp = Tg a Coh 2 cp — Sih 2 cp — 1Vß rfügte c . Da überdies
ff = ± Ln (x + y) = e • Ltg (45° + ‘/ a y)
b\f 2 x
a 2 nix,
2 J x,
T k 7
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