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— Die hyperbolischen Punktionen.

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Womit 2‘ erwiesen ist. Hieraus erhält man aber mit Hilfe von 1, 39 .- 7 undG2 : 2 successive

. Ln (x + y) — Ln (x — y)

■Co (90° + cp)

2 Lg e1

Lge

■Lg

x + y

2 Lg e

■Lg

1 -j- Si cp1 — Si i p

Ltg ^45 o + 70

2 Lg e 1 + Co (90 — i p)d. h. auch die 2“. — e. Die 3 ergehen sich unmittelbar aus den 2', — diedem Moivre’schen Lehrsatz korrespondierende 4 aus 3‘. Mit Hilfe der 3 lässtsich sodann die Richtigkeit der Formeln

Sih (« + ß) — Sih u • Coh ß ± Coli a ■ Sih ß Coh (a±ß) — Coh «• Coh ß + Sih «• Sih ß

Sih a ± Sih ß = 2 Sih % (« ± ß) • Coh l /, (k + ß) etc.

von welchen z. B. die dritte in 179 zur Anwendung kommen wird, leicht veri-fizieren. — /. Die von Riccati nur „gewünschten“ Tafeln wurden sodann vonLambert in seinen zwei spätem Schriften wirklich gegeben, doch so, dass erzur Vereinfachung der Berechnung die sich ja ohnehin auf eine willkürlicheFlächeneinheit beziehende durch cp • Lg e ersetzte; unsere IV b giebt, unterReduktion seiner 7 auf 4 Decimalen, ein Specimen dieser Tafel. Manche neuere,wie z. B. „Ligowski, Taschenbuch der Mathematik. Berlin 1867 in 12.“ habenfür ihre betreffende Tafel <p statt cp als Argument gewählt, wodurch aber nachmeiner Ansicht, die Erstellung der Tafel mehr erschwert, als ihre Brauchbar-keit gefördert wird. — Für andere Tafeln und weitere Entwicklungen ver-weise ich auf die Speciallitteratur: „Will. Wallace, New Series for the qua-drature of conic sections, and the computation of Logarithms (Edinb. Trans.1800), — Chr. Gudermann, Theorie der Potenzial- oder cyklisch-hyperbolischenFunctionen. Berlin 1833 in 4., — W. Gronau , Tafeln für die hyperbolischenSectoren und für die Logarithmen ihrer Sinus und Cosinus. Danzig 1863 in 8.,und: Theorie und Anwendung der hyperbolischen Punktionen. Danzig 1865m 8., — Forti e Mossotti, Tavole dei logaritmi delle funzioni circolari eiperboliche. Pisa 1863 in 12. (2. ed. 1870), — C. A. Laisant, Essai sur lesfonctions hyperboliques. Paris 1874 in 8., — S. Günther, Die Lehre von den ge-wöhnlichen und verallgemeinerten Hyperbelfunctionen. Halle 1881 in 8., — etc.“

7 9 . Einige Linien liöhern Grades. — Da jeder Gleichung^Wischen zwei Coordinaten, welche die eine als eine kontinuierlicheFunktion der andern bedingt, eine Punktenfolge entspricht, so hatso viele verschiedene Linien als es solche Gleichungen giebt,^fid aus diesen sind gewisse um ihrer merkwürdigen Eigenschaften"^llen besonders hervorgehoben worden, so z. B. die durch die'hebräischen Gleichungen

x 3

y 3 = a • x 2 y 2 =

x 2 • y 2 :

(a -|- y ) 2 • (b 2 — y 2 ) x 2 -f- y 2 = a Vx 2 — y‘

^ c -, dargestellten Kurven, welche der Reihe nach als Neils Parabel,'-'■ssoide des Diokles, Conchoide des Nikomedes, Lemniscate Jak. Ber-*J°Ullis, etc., bezeichnet werden“, — oder die durch die transcen-e hten Gleichungen