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— Die Roll-Linien.

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ferner r der Abstand des beschreibenden Punktes von dem Schwer-punkte, und endlich (p der Wert von P für r = 0 ist. Diese vonSteiner zuerst aufgefundene Beziehung gilt natürlich auch noch,wenn das Vieleck, und damit die Roll-Linie, in eine Kurve über-geht - Rollt z. B. ein Kreis des Radius a auf einer Geradenden Winkel v ab, so beschreibt der vom Centrum um b abstehendePunkt eine Roll-Linie, für welche

y = a — b • Co v, x — a • v — b • Si v = a • Aeo — Vb® — (a — y)* 3

ist. Sie bat den Namen Cykloide (Roulette, Trochoide) erhalten, undzwar speciell für b = a gemeine, für b < a verlängerte, für b :=> aVerkürzte Cykloide h . — Für die gemeine Cykloide gehen die 2 in

y = a (1 — Co v), x = a (v — Si v) = a • Aco (1-^ — V'2 ay — y® 3

über, während nach 70:1—4 für Tangente, Normale und Krüm-inungs kreis

y - y' = (x — x') • Ct %v y — y = — (x — X') • Tg V* v

Tang. == y' ■ Se f / 2 v Norm. = y' • Cs V ä v 4-

Subt. = y' • Tg Va v Subn. = y' • Ct l / 2 v

A = a (v + Si v) B = — a (1 — Co v) R = 4a • Si */a v &

folgen, und nach 71 : 1, 2 für Bogen und Fläche

s = 8 a • Si® 7* v f — 3 / 2 a® v — 2 a® • Si v + V 4 a® • Si 2 v <>

erhalten werden, woraus für v = 2 n als Länge der ganzen Cykloide8 a, als Fläche derselben 3a*n hervorgeht c .

Zu SO:

I

n. Der erste Ausdruck für F ergiebt sicli unter Voraussetzung,

dass die Drehwinkel « in Bogen aus-gedrückt seien, von selbst, und danach 72 : 2, wenn man die Konstantenm durch die <i ersetzt,

2’ a 2 • u — A r s ■ « f 2 r- nfolgt, so erhält man auch den zweitenAusdruck ohne die mindeste Schwierigkeit. Steiner hat letztem in seinerklassischen Abhandlung „Von dem Krümmungsschwerpunkte ebener Curven(Crelle 21 von 1840; auch Berl. Abh. 1838)“ ausgesprochen. — b. Der Aus-druck für y und der erste Ausdruck

i — v ^ ^ \ "

\ ' ' für x lassen sich unmittelbar aus der

Figur ablesen, und wenn inan ausihnen v eliminiert, so wird der zweiteAusdruck für x erhalten. — Der Cy-kloide war hei der Entwicklung derGeometrie im 17. Jahrhundert eine Hauptrolle zugeteilt: Die Lehre von denKrümmungsverhiUtnissen, den Quadraturen und Rektifikationen, etc., erwuchs

Wolf, Handbuch der Astronomie. I.

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