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— Einige Vorkenntnisse aus der Geometrie. —

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zunächst aus den Aufgaben, welche sich die Roberval, Cavalieri, Pascal, etc.in betreff dieser merkwürdigen Linie stellten, und ich bedaure lebhaft, dassmir der beengte Raum nicht erlaubt, im Detail auf diesen Process einzutreten,

— auch mich nötigt, von andern Roll-Linien, wie z. B. von der beim Rolleneines Kreises auf einem Kreise entstehenden Epicykloide, Umgang zu nehmen.

— c. Aus den 3 folgt durch Differentieren

dx = a (1 — Co v) • dv = y • dv (ly = a ■ Si v • dv dx:dy = Tg'/»v &

und mit Hilfe hievon ergehen sich nach 70:1—4 sofort die 4 und 6. Da laut.

Figur HD = y • Ct V 3 v, so ist HDnach 4 die Subnormale, also MD Nor-male und MG Tangente in M. Fernerergiebt sich nach den zwei ersten 5,dass der Ort des Krümmungsmittel-punktes einer Cykloide, oder (70) ihreEvolute, wieder eine gleiche Cykloideist, deren Scheitel B' mit A zusammen-fällt, während ihr Anfangspunkt A' inBeziehung auf AE symmetrisch zu Bliegt oder dass, wie schon Huygens nach-wies, beim Abwickeln einer Cykloidenotwendig eine ihr gleiche Cykloide entsteht, — und nach der 3, dass derKrümmungshalbmesser doppelt so gross als die Normale ist. — Nach 7 und71:1 erhält man ferner

G B

s

dv

2

■ 4a • Co — + 4a = 8a ■ Si-

wodurch einerseits G' erwiesen ist und anderseits die Gleichheit MB — 4a — s =4a • Co y,v=2'FB folgt, auf welche Wren schon 1658 Pascal aufmerksammachte. Endlich erhält man nach 7, 71: 2 und 4G: 22

f=jydx=Jy*-dv = 8 a * J SP • -- = 8 a* Jsi* -I

’o ’o ’o 'o

dv

2

= 2 a 2 (v — Si v) — '4 a a (2 v — Si 2 v)

womit G" übereinstimmt und woraus für Y=2n, wie schon bemerkt, 3a ä »als Fläche der ganzen Cykloide folgt, — ein Resultat, welches auch ans 1hervorgeht, da für die gemeine Cykloide offenbar <p = 2a 3 ?i wird.

SI. Einleitung in die Raumgeonietrie. — Eine Ebenewird durch drei nicht in einer Geraden liegende Punkte, also auchdurch zwei sich im Endlichen oder Unendlichen schneidende Gerade,bestimmt, und schneidet daher jede andere Ebene in einer Geraden,ihrer sog. Kante (Spur, Knotenlinie). — Dreht sich abwechselndeine in einer Ebene liegende Gerade in derselben um einen ihrerPunkte und dann die Ebene um die Gerade, so entsteht, wenn nachn Doppelbewegungen Gerade und Ebene wieder in die ursprüng'liebe Lage zurückkehren, ein n-Kant oder Raum-n-Eck: Die Dreh-