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Einige Vorkenntnisse aus der Geometrie. —

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zeichnet, die Fläche der Projektion f = F-Coqp, — eine B e 'ziehung, welche sich leicht auf jede Fläche und deren Projektionausdehnen lässt

W,u 81 : a. Stellt b a senkrecht zn a c und ad, so steht sie auch senk-recht zn irgend einer Dritten ae; denn zieht man eine beliebige Gerade cd,verlängert ha um af=ba und zieht die in der Figurangegebenen Hilfslinien, so ergiebt sich die Folge von0 Kongruenzen: Aabcooafc, abdesafd, bcdegfcd,bde §o fde und bea so fea, aus deren letzterer dieRichtigkeit der Behauptung hervorgeht. Zugleich folgtdass sich ac = ad und bc = bd, ae _L cd und be _L cd,etc., entsprechen. — Ebensoleicht lassen sich successivedie folgenden Sätze erweisen; ich muss jedoch des be-schränkten Raumes wogen Umgang davon nehmen, dies weiter ausznführen. -—h. Es schliesst sich hieran der Satz: Projiziert man auf eine Gerade alleSeiten eines ebenen oder räumlichen Vielecks, so ist die Projektion irgendeiner Seite gleich dem Gegensätze der algebraischen Summe aller andern;haben daher zwei Vielecke eine gemeinschaftliche Seite, so sind für eine unddieselbe Gerade die Summen der Projektionen aller übrigen Seiten derselbe»

einander gleich. — c. Projiziert man z. B. einenKreis auf eine durch einen seiner Durchmessergelegte Ebene, so erhält man, da successivea'Co« = b, x = a-Cof?, y = a-Si/S-Co« = b-Sif ;

y 3 = b 2 (1 - Co 2 /?) = b 2 (l -

folgen, eine Ellipse, und es ist daher, wenn Fdie Fläche dieser Ellipse bezeichnet, nach unser!»Satze F = a- • n ■ Oo « = a • b • n, so dass auf diese AVeise die Quadratur derEllipse (75) in einfachster AVeise vollzogen ist.

i yi -

a 2 + b 2

§3. Das Raumdreieck. — In jedem Raumdreiecke oderDreikant steht einer gleichen Seite ein gleicher, — einer grossemSeite ein grösserer Winkel gegenüber — Ferner ist in jedemRaumdreiecke auch die grösste Seite kleiner als die Summe derbeiden übrigen, — die Summe aller drei Seiten kleiner als 360° *'•— Fällt man von einem innerhalb eines Dreikants liegenden PunkteSenkrechte auf die Seiten desselben, so bestimmen diese ein neue®Dreikant, welches Polardreikant des ersten heisst und die EigemSchaft besitzt, dass seine Seiten und Winkel zu den Winkeln undSeiten des erstem supplementär sind; da die Polarität gegenseitigist, so ergiebt sich hieraus zugleich, dass die Winkelsumme einesRaumdreiecks immer grösser als 2 R ist, oder einen sog. ExceSSüber die Winkelsumme des ebenen Dreiecks besitzt c . — Fällt manauf eine Seite eines Raumdreieckes von einem Punkte der Gege n 'kante eine Senkrechte, verlängert diese über ihren Fusspunkt hinausum ihre eigene Länge und verbindet den so erhaltenen Punkt mü