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— Das Raumdreieck.

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dem Scheitel, so bestimmt diese Verbindungslinie mit jener Seitee in neues Raumdreieck, welches zwar mit dem Gegebenen gleicheSeiten und gleiche Winkel hat, aber nicht mit ihm vertauschtWerden kann, dagegen mit ihm in Beziehung auf die gemeinschaft-liche Seite in allen Teilen symmetrisch ist. — Haben endlich zweiHaumdreiecke alle drei Seiten, oder zwei Seiten und den einge-schlossenen Winkel, oder eine Seite und die anliegenden Winkel,oder alle drei Winkel gleich, so stimmen je auch die übrigen Ele-mente überein und sie sind kongruent oder symmetrisch gleich, jenachdem sie in dieselbe Lage gebracht werden können oder eineVertauschung nicht möglich ist d .

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3Bu 83: u. Zieht man von einem beliebigen Punkte D in einer der Kanteneines Raumdreiecks eine Senkrechte DE auf die Gegenseite, und von deren

Fusspunkt E die Senkrechten EFund E G auf die beiden andern Kan-ten, so sind (8t: a) auch die Ver-bindungen D F und D G senkrechtzu letztem, und somit Z.DFE = Bund ZDGE-A die den Winkelnan diesen Kanten entsprechendenSenkrechtenwinkel. Es ergiebt sichzugleich leicht, dass a<, = , >b auch DF<, =, >DG, also A<, —,>B entspricht, womit die ausgesprochenen Sätzeerwiesen sind. — b. Ist AOB die grösste Seitedes Raumdreieckes 0 — ABC, so kann man auf sieDOB —COB abtragen; zieht man sodann ab be-liebig und macht Oc = Od, so folgt db = cb, alsoad < ac, somit A0D < A0C 'oder der ausge-sprochene Satz. Schreibt man letztem für jedesder von a, b, c anslaufenden Raumdreiecke auf undaddiert die drei Ungleichheiten, so ergiebt sich,dass die Summe der Basiswinkel der in 0 zusammen-laufenden Dreiecke grösser ist als die Summe derBasiswinkel der in irgend einem l’unkte o der Ebeneabc zusammenlanfenden Dreiecke, — also mussgegenteils die Summe der Winkel um 0 kleinerum o, d. h. kleiner als 360° sein, w. z. b. w. —c. Aus der beistehenden Figur geht (81) ohneweiteres die Richtigkeit des ausgesprochenen Satzeshervor, — speciell, dass die Summen der Seiteneines Raumdreieckes und der Winkel seines Polar-dreieckes sich zu 6 R ergänzen: Da nun erstemSumme nach oben zwischen o und i R liegt, somuss letztere zwischen 2 und 6 II fallen. — (l. DerSatz vom symmetrischen Dreikant ergiebt sich un-mittelbar aus der Figur, in welcher ED‘ = ED sein soll. Ebenso wird dieRichtigkeit der folgenden Sätze teils unmittelbar, teils mit Hilfe des Polar-dreieckes, leicht eingesehen. Dagegen mag sich noch die historische Notiz

als diejenige der Winkel