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— Einige Vorkeimtnisse aus der Geometrie. —

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anschliessen, dass die meisten der unter gegen-wärtiger Nummer ausgesprochenen Fundamental-sätze schon von Menelaus am Kugeldreiecke (8ß)gegeben wurden; doch scheint er das Polardreiecknoch nicht gekannt zu haben, und auch der fürden Raum charakteristische Unterschied zwischenKongruenz und Ähnlichkeit dürfte erst in der neuernZeit zum vollen Bewusstsein gekommen sein, —'so namentlich Segner, wie dessen „Defensio ad-versus censuram Berolinensem“ vom Jahre 1741 belegen soll.

83. Vierflacli und Vielflacli. — Kann man durch eine Aus*wähl aus den */ ä n (n — 1) Kanten, in welchen sich n Ebene»schneiden, sämtliche Ebenen so begrenzen, dass jede der gewähltenKanten beide Ebenen, denen sie angehört, abschliessen hilft, soerhält man eine Reihe von Vielecken, die einen Raum vollständigzwischen sich fassen oder einen Körper, ein sog. n-Flach, bilde»-Für n = 4, 5, 6, 8, 12, 20, etc. heisst das n-Elach wohl auchTetraeder, Pentaeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder,etc., im allgemeinen Polyeder". — Der einfachste Körper ist dasvon vier Dreiecken begrenzte Vierflach oder Tetraeder, in welche» 1man eine der Seiten als Grundfläche und sodann die Entfernung derGegenecke von derselben als Höhe bezeichnet 6 . — Verbindet m» 11eine Ecke des Vierflachs mit irgend einem Punkte der Gegenseiteund verlängert dann diese Verbindungslinie um ihre eigene Läng c iso bestimmt der so erhaltene Punkt mit der Seite ein neues Vier-flach, welches Gegenvierflach des ersten heisst und mit ihm sowohlgleiche Höhe als gleichen Rauminhalt oder Volumen besitzt c . Habe»somit zwei Vierflache kongruente Grundflächen und gleiche Höhe,so sind sie auch gleich gross, da jedes von ihnen Gegenvierflachdes andern sein kann, — und wenn man durch die Mitte einerTetraederkante und deren beide Gegenecken einen Schnitt führt,so hat man das Tetraeder halbiert, da die beiden Teile notwendigin Beziehung auf die Schnittebene Gegenvierflache sind. — Stehe»drei Seiten eines Vierflachs paarweise senkrecht zu einander, s0heisst dasselbe rechtwinklig, und wenn zwei solche Vierflache je zvve 1von der rechten Ecke ausgehende Kanten gleich haben, so zerfalle* 1sie, wenn man die dritten dieser Kanten im Verhältnisse ihrer Länge**abteilt und durch die Teilpunkte Schnitte nach den Gegenecke»führt, nach dem frühem Satze in gleiche Teile, — folglich verhalte»sie sich wie diese dritten Kanten. Sind daher ABO, aBC, ab^und abc die von der rechten Ecke ausgehenden Kanten von ^rechtwinkligen Vierflachen der Volumina V , V', v', v, und setztman (analog 55) v = l, wenn die drei Dimensionen a=J, b = 2,