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— Einige Vorkenntnisse ans der Geometrie. —

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Pyramiden zerlegen und ist daher gleich Querschnitt mal Mittelder parallelen Kanten. Nennt man endlich ein Vielflach mit zweiparallelen Grundflächen, dessen Seitenflächen Trapeze oder Dreieckesind, Obelisk, so lässt sich zeigen, dass ein Obelisk gleich deinSechstel eines Prismas von gleicher Höhe ist, dessen Grundflächeaus seinen beiden Grundflächen und dem vierfachen Querschnittein halber Höhe besteht*.

Xn SS: a. Den Namen Vielflach (n-Flach) statt Polyeder zu gebrauchen,schlug ich schon Mitte der Vierzigerjahre vor. — b. Bezeichnen a, b, c, ddie Seiten eines Vierflachs, so ist (81) offenbar

a = h ■ Co (a, b) + c • Co (a, c) -|- d • Co (a, d)und analoge Gleichungen lassen sich auch für die drei übrigen Seiten auf-schreiben; multipliziert man aber jede derselben mit der ihr vorstehendenSeite, so ergiebt sich, dass

a 2 = b 2 + c 2 + d 2 — 2hc • Co (h, c) — 2bd • Co (b, d) — 2cd • Co (c, d)

wird. In dem speciellen Falle, wo (b, c) = (b, d) = (c, d) = 90°, ist dahera 2 —b 2 + c 2 d 2 , d. h. es besteht, wie wahrscheinlich schon Descartes fand,aber dann namentlich Gua (Mem. Paris 1783) betonte, im Raume ein höchstmerkwürdiges Analogon zum pythagoreischen Lehrsätze. — c. Dass DE = EDeinander gegenseitig bedingen, und für jeden Punkt H,der in dem Umfange des Dreiecks ABC liegt, DEH^D'EH ist, liegt auf der Hand; wenn nun H den eanzenUmfang durchläuft, so beschreiben DEII und D'EÜVierflach und Gegenvierflach, also müssen auch dieseletztem gleichen Inhalt haben. — Die Einführung desGegenvierflachs und den darauf basierten Weg zi 11 ’Bestimmung des Tetraedervolumens habe ich mir, wiedie erste Ausgabe meines Taschenbuches beweist, schonvor 1852 ausgedacht. Früher war ich (vgl. Grunert VÜ)davon ansgegangen, dass jeder zu ABC paralleleSchnitt abc ihm ähnlich sein, also die Proportion abc: ABC = ah 2 : AB 2 =a D 2 : A D 2 — Dg 2 : DG 2 bestehen muss, — dass somit hei zwei Tetraedernvon gleicher Grundfläche und Höhe gleich holte Parallelschnitte zur Grund-fläche gleich gross sind, also auch die Tetraeder seihst als Summen von glei"ehen Elementen gleich gross sein müssen. — fl. Die Ausdehnung der Volum-regel vom rechtwinkligen auf irgend ein Tetraeder beruht darauf, dass mandie Grundfläche jedes Tetraeders in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen undseine Spitze ohne Volumenänderiiug über den Teilpunkt der Basis der Grund-fläche verschieben kann. — Wählt man die von den Kanten b, c und demvon ihnen eingeschlossenen Winkel a bestimmte Seiteals Grundfläche, so ist mit Hilfe von 90:4

Tr G • H .. b • cy = —= y 3 • —;Si u ■ a Si y ■ Si B

= a jL'_ 0 .-|/SjV7sr(s-

- «) • Si (s — ß) ■ Si (s — y)

wo s — ‘j (u +/? T y) ist. — Ist g ein parallel zu {1

in der Höhe h geführter Schnitt, so hat man

(H — h) 2 :H 3 , also H = h j/G':(j/G'-j/g r ), " nd