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— Einige Verkenntnisse aus der Geometrie.

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ist, wie dies, aber auf einem viel komplizierteren Wege, schon in „Koppe,Ein neuer Lehrsatz der Stereometrie. Essen 1843 in 8.“ gezeigt, dann abervon Steiner in vorstehender Weise dargethan und damit, in diesen grossenGeometer kennzeichnender Weise, gezeigt wurde, wie bei richtiger Auswahlder Mittel oft scheinbare Schwierigkeiteil leicht überwunden werden können.

84 . Die ceiitrischen Vielflache und die Kugel. — Be-

zeichnen k, e, f der Reihe nach die Anzahl der Kanten, Ecken undFlächen eines sog. konvexen, d. h. keine einspringenden Winkel be-sitzenden Polyeders, so besteht“ die den Kamen von Euler tragendeBeziehung e + f = k + 2 1

und aus dieser folgt, dass es nur fünf Körper giebt, bei welchenalle Flächen gleich viele Seiten haben und in allen Ecken gleichviele Kanten zusammenlaufen, nämlich ein Tetraeder, ein Oktaederund ein Ikosaeder aus Dreiecken, — ein Hexaeder aus Vierecken,

— und ein Dodekaeder aus Fünfecken, — an welche sich allfällignoch ein Unendlichflach anschliessen lässt b . — Ein Vielflach kannnach den Ecken, Kanten oder Seiten centrisch sein: Ist es centrischnach den Ecken, so ist notwendig auch jede seiner Flächen cent-risch nach den Ecken; ist es centrisch nach den Kanten, so istjede seiner Flächen centrisch nach den Seiten; ist es centrisch nachden Seiten, so stehen die Projektionen seines Centrums auf zweiNebenseiten von der Kante dieser letztem gleich weit ab, und jededurch den Mittelpunkt und eine Kante gelegte Ebene halbiert denFlächenwinkel an dieser Kante, während (83) der Inhalt eines sol-chen Vielflachs gleich ein Drittel des Produktes aus Oberfläche undApothema ist; wenn endlich, was aber ausschliesslich bei den obenaufgezählten fünf Vielflachen Vorkommen kann, derselbe Punkt inallen drei Beziehungen Centrum oder das Vielflach centrisch ist,so hat es gleiche Kanten, Seiten und Winkel, oder ist regelmässig e -

— Der räumliche Ort eines Punktes, der von einem gegebenenPunkte, dem sog. Centrum, einen unveränderlichen, Radius genannten,Abstand hat, heisst Kugelfläche , — der von der Kugelfläche be-grenzte, mit einem centrischen Unendlichflach übereinkommendeKörper Kugel. Steht eine Ebene von dem Kugelcentrum um denRadius ab, so hat sie offenbar mit der Kugel nur Einen Punkt ge-mein und heisst tangierend in diesem Punkte; ist dagegen ihr Ab-stand kleiner, so schneidet sie die Kugelfläche in einer Kreislinie,deren Centrum mit der Projektion des Kugelcentrums auf die Schnitt-ebene zusammenfällt und deren Radius um so grösser ist, je mehrsich der Schnitt dem Kugelcentrum nähert: Schnitten durch dasCentrum entsprechen grösste oder sog. Hauptkreise, und jede zweisolche halbieren sich infolge gemeinschaftlichen Durchmessers gegen-