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— Die centrischen Vielflache mnl die Kugel.

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seifig. Die Endpunkte des zu einem Kugelkreise senkrechten Kugel-durclnnessers stehen von allen Punkten desselben gleich weit und zwarvon einem Hauptkreise um 90° ab; sie heissen Pole des Kreises, —die Kreise von gemeinschaftlichen Polen Parallelkreise, — der zuihnen gehörende Hauptkreis Polarkreis (Equator ). Steht ein Punktder Kugelfläche von zwei andern Punkten derselben um 90° ah, soist er Pol des sie verbindenden Hauptkreisbogens, und umgekehrtmisst dieser den Winkel am Pole; der durch die Pole zweier Haupt-kreise bestimmte grösste Kreis halbiert deren Hälften nochmalsunter rechtem Winkel; der Abstand der Pole misst den Winkelder beiden Hauptkreise; etc. d .

'Md u 84: a. Bezeichnet f„ die Anzahl der unter den Seitenflächen einesPolyeders vorkommenden n-Ecke, und e n die Anzahl seiner n kantigen Ecken,so ist offenbar

3f 3 + 4f 4 + 5f s + ■ • • = 2k = 3e, + 4e 4 -|- 5e g H-

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Denkt man sich nun das Polyeder, welches konvex sein soll, während seineFlächen die Seitenzahlen in, n, haben mögen, auf eine Ebene projiziert,so werden die Projektionen gewisser Kanten eine Contour von e' Ecken bilden,zwischen welchen zwei Netze von Vielecken liegen, — gewissermassen einoberes mit e" und ein unteres mit e'" innern Ecken. Es wird also die Summeder sämtlichen Winkel der Projektion

[2 (e' — 2 ) R + 4 e“ R] -\- [2 (e' — 2) R + 4 e“ RJ = 4 (e — 2) Rsein, während die Summe aller Kantenwinkel notwendig

2 (m — 2) R + 2 (n — 2) R -|-= 4 (k — f) R

ist, und diese beiden Summen müssen gleich sein, da jedes n-Eck des Polyedersauch in der Projektion als n-Eck erscheint. Aus dieser Gleichsetzung ergiebtsich aber unsere 1, welche mutmasslich schon Descartes kannte, sodann na-mentlich Euler (Nov. Comin. Petr. 4) hervorhob und neuerdings Steiner (Crelle 1)in der eben mitgeteilten originellen Weise begründete. — ft. Sind alle Flächenx-seitig und alle Ecken y-kantig, wo x = 3 + « und y — 3 -f- ß gesetzt werdenkann, so hat man nach 2 und 1, wenn

m = 2 (x + y) — x • y — 3 — (« + ß) — « • ß

„ , 2k , 2k

x-f=2k = y-e k + 2 =-1--

y x

ist, successive

4

_ 2k_4x

±7

y m x

x m

m

Da nun offenbar nur solche Werte von «, ß, m zulässig sind, welche fürx, y, k, f, e ganze und positive Werte ergeben, so beschränkt sich die An-zahl der jene Bedingung erfüllenden Polyeder auf die fünf Aufgezählten. —

£

c. Sind b d = 2 s und g Kante und Centrum eines cen-trischen Körpers, e und f die Mittelpunkte der an bdstossenden n-Ecke, während m die Anzahl der an einerEcke zusammentreffenden Flächen ist, und dreht mandie Ebene fbg um bg, bis sie mit dbg, ebg, etc.,zuletzt wieder mit fbg zusammenfällt, so ist dieSumme aller 2 m hiefiir erforderlichen gleichen Einzel-