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— Einige Vorkeimtnisse aus der Geometrie. —
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dreliungen 360°, also z. B. Zfbgd = 180° :m, während Zbfge = « undZbcgf~90° ist. Wendet man daher auf Baumdreieek g — bcf die For-meln 87 : 1 au, so hat man
Si'/j w= Co 180 ° • Cs •/„ 180° Co <p = Ct 180» • Ct '/„ 180° 5
woraus sich, wenn A das Apothema der Seiten, a dasjenige der Kanten undr den Iiadius bezeichnet, die Formeln
A = c f • Tg '/ s w = s . Ct V» 180 0 • Tg V', wa — A - Cs y, w = s • Ct ‘/n 180 0 • Se '/, w <*
r = A ■ Se q> = s • Tg */,„ 180° • Tg l / 2 wergeben. Nach diesen Formeln erhält man aber für 2 s = 1, für das
m
n
w
V
A
a
r
Tetraeder
3
3
70° 31' 44“
70» 31' 44“
0,204124
0,353553
0,612372
Oktaeder
4
3
109 28 16
00
0,408218
0,500000
0,707107
Ikosaeder
5
3
138 11 23
37 22 38
0,755761
0,809016
0,951056
Hexaeder
3
4
90 0 0
54 44 8
0,500000
0,707107
0,866025
Dodekaeder
3
5
116 33 54
37 22 38
1,113516
1,309017
1,401258
wo A den Radius der eingeschriebenen, r denjenigen der »ungeschriebenenKugel darstellt. — Auf die schon von Kepler ins Auge gefassten Stern-Vielflachekann ich hier nicht eintreten, sondern verweise dafür z. B. auf „Ludwig Chri-stian Wiener (Darmstadt 1826 geh.; Prof, matli. Darmstadt, Giessen und Karls-ruhe), Über Vielecke und Vielflaclie. Leipzig 1864 in 4.“ — <1. Die meistendieser Elementarsätze über die Kugel Anden sich schon bei den griechischenGeometern Euklid, Theodosius, Menelaus , etc.
85. Die sog'. Guldin’sclien Regeln. — Kotiert eine Kurveum eine in ihrer Ebene Hegende Gerade als Axe, so ist die vonderselben beschriebene Fläche gleich ihrer Länge multipliziert mitdem Wege ihres Schwerpunktes a , — und analog wird das Volumendes durch Rotation einer Fläche entstandenen Körpers erhalten,wenn man die Fläche mit dem Wege ihres Schwerpunktes multi-pliziert b . — Die Fläche einer zwischen zwei Parallelkreisen ent-haltenen Kugelzone ist gleich dem Produkte aus der Peripherie einesHauptkreises in den Abstand der beiden Ebenen oder der sog. Höheder Zone c . Dieselbe Regel besteht natürlich auch noch für die sog-Kugelhaube (Calotte), wo die eine Ebene die Kugel tangiert, undergiebt, wenn man die Höhe bis zum Durchmesser anwachsen lässt,für die ganze Kugeloberfläche 4 r 3 n , zu welcher sich sodann dmFläche eines von zwei Hauptkreisen begrenzten Teiles, eines sog-Möndchens, ebenso verhält wie dessen Winkel zur Umdrehung. —"Bezeichnen endlich V, V' und V" die Volumina der Kugel, einesKugelausschnittes, dessen Basis die Höhe h hat, und des ent-sprechenden Kugelabschnittes, so ist
V - ' r>;r V'= lr-hn V" = h* (r — 7 a h) « *
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