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Die sog. Guldin’sohen Regeln. —

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während der einer Kugelzone entsprechende Kugelteil als Differenzzweier Abschnitte berechnet wird ,l .

Zn HA : n. Dreht sieh eine Ebene um eine ihrer Geraden als Axe, so be-

schreibt jede in der Ebene liegende Gerade 1 (83)

d E\a

eine Fläche 2IU (l_f x) _

’ — 2 2

Nun verhält sich (1 + x) : 1 — R : (R — r) und 1: x —(R — r): r. Wenn ferner d der Mitte von 1 entspricht,

sowie a _L 1 ist, so hat man d = V 2 (R + r) und d : a = p : 1. Es zieht sichalso obige Formel successive in

F = (R + r) ■ 1 • n = 2 d n ■ 1 — 2 a n ■ p

3

zusammen. Bilden nun die Geraden 1, l ä 1 3 ... eine ebene gebrochene Linieund bezeichnen g, g., g 3 ... die Ahstände ihrer einzelnen Schwerpunkte voneiner in der Ebene liegenden Drebaxe, g aber den Abstand des Schwerpunktesder ganzen Linie, so ist (72) 2] 1 • g = g - 2'1, und man hat daher nach 2

F = 2 Tr g • A1

d. h., wenn man die gebrochene Linie in eine Kurve übergehen lässt, die

ausgesprochene Regel. — b. Bezeichnen x, y,, x., y 4 ,x 3 y 3 die Coordinaten der auf eine Drebaxe ihrerEbene bezogenen Ecken eines Dreiecks der Fläche F,— ist ferner (72) G = V 3 ly, + y 4 + y 3 ) der Abstanddes Dreieck-Schwerpunktes von der Drebaxe, — undbedenkt man, dass aus Kombination dreier Trapeze und der entsprechenden abgekürzten Kegel

x ( x 3 X.i

x 3 ) +.y 3 (xj

x ä ) + y ä (x.

ty ( 5 + y 3 2 + yiy 3 )(x 3 -x,) + (y 3 2 + y ä 2 +y 3 y 2 )(x a -x 3 )-(y 1 2 -t y 4 a +y,y

folgt, wo Y das Volumen des hei der Rotation entstehenden Körpers ist, so

ergieht sich

4

V= 2Gti • F

oder die zweite der ausgesprochenen Regeln, welche sich schon in den Samm-lungen von Pappus finden, dann aber namentlich von Paul Guldin in seinemWerke „De centro gravitatis libri IV. Viennse 1635—40 in 4.“ einlässlich be-handelt und darum mit dessen Namen belegt wurden. — c. Dreht sich einStück eines centrischen Vieleckes um eine durch den Mittelpunkt gehendeGerade seiner Ebene, so ist nach 2 die von ihm beschriebene Fläche gleichdem Produkte der Projektion jenes Stückes auf die Drebaxe in den Umfangeines Kreises, dessen Radius gleich dem Apothema des Vieleckes ist. Hieraus-folgt aber sofort die Regel für die Kugelzone. — <1. Haben somit ein Cy-linder, ein Kegel und eine Kugel 2r zu Höhe und Durchmesser, so ist, wieschon Archimedes lehrte, der erstere gleich der Summe der beiden letztem.

S6. Das Kugeldreieck und sein Polardreieck. — Ver-

bindet man drei Punkte der Kugelfläche teils durch Gerade mit dem

Mittelpunkte, teils paarweise durch Hauptkreise, so entstehen gleich-zeitig ein Dreikant und ein sog. Kugeldreieck oder sphärisches Drei-eck , deren Seiten und Winkel gleiches Mass haben, so dass die