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Einige Vorkenntnisse ans der Geometrie.

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Elemente des Kugeldreiecks notwendig alle für das Dreikant be-stellenden Beziehungen eingehen. — Verlängert man die das Drei-kant bildenden Radien rückwärts, so erhält man ein sog. Gegeil-dreieck, das mit dem ursprünglichen Dreiecke gleiche Seiten, gleicheWinkel und gleiche Fläche hatDie den drei Winkeln A, B, 0eines sphärischen Dreiecks der Fläche F entsprechenden Möndchenübertreffen somit die halbe Kugeloberfläche um 2 F und man hat

daher

2 r a jt + 2 F =

4r 2 ?r

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(A + B + C) oder F =

e

9Ö 1 n

wo (82) e den halben Exc-ess bezeichnet h . — In Beziehung auf diemerkwürdigen Eigenschaften des Kugeldreieckes beschränke ichmich darauf, einerseits hervorzubeben, dass jede sphärische Trans-versale die Seiten eines sphärischen Dreieckes oder ihre Verlänge-rungen so schneidet, dass die Produkte der Sinus der nicht an-einanderliegenden Abschnitte gleich werden c , — und anderseits zuerwähnen, dass, wenn man aus den drei Ecken eines Kugeldreieckesmit dem Radius 90° Kreise zieht, ein neues Dreieck entsteht, wel-ches jene Ecken zu Polen hat und Polardreieck des ersten heisst,dass ferner die Polarität gegenseitig ist und jede Seite des einenDreiecks den Gegenwinkel des andern zu zwei Rechten ergänzt '*•/ui SC: a. Sind z. B. ABC und DE Gr Gegendreiecke, und zieht maneinen Durchmesser PP 1 , der senkrecht zu der Ebene der drei Punkte ABCsteht und sie in Q schneidet, so steht Q offenbar vonABC gleich weit ah, also sind auch die BogenabständePA = PB = PC = P'D = P'E = P'G; da sich nun .jedezwei gleichschenklige sphärische Gegendreiecke ohne wei-teres zur Deckung bringen lassen, also gleich sind, so hatman ABC = APB + BPC + CPA = DP'E + EP'G +GP'D = DEG, w. z. b. w. — ft. Dieser wichtige Flächen-satz scheint zuerst, aber noch ohne scharfen Beweis, von Girard in seiner„Invention nouvelle“ von 1629 ausgesprochen worden zu sein; einen solchensoll zuerst, und zwar wesentlich in obiger Weise, Cavalieri in seinem „Direc-torium generale uranometricum. Bologna 1632 in 4.“ gegeben haben. — c. Die

Erweiterung des Transversalensatzes auf dasKaumdreieck lässt sich in folgender Weiseerhalten: Da in einem gleichschenkligen Drei-ecke jede durch die Spitze gezogene Geradedie Basis und den Winkel an der Spitze soteilt, dass sich die Abschnitte der Basis wiedie Sinus der Winkelsegmente verhalten, sobestehen die Proportionen

ad'_Siad be'_Sibe cf' _Sief

d' b Si d b e' c Si e e fa Si f a

und hieraus ergiebt, sich durch Multiplikation

ad'-be'-cf' _ Siad-Sibe

d'b ■ e'c ■ f'a

Sief

Si d b • Si c e • Si f a