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— Das Kugeldreieck und sein Polardreieck.

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Da mm (55) das erstere Verhältnis gleich der Einheit ist, so muss anch daszweite gleich derselben sein, d. h. der ausgesprochene Satz bestehen, welchenwahrscheinlich schon Menelaus, jedenfalls spätestens Ptolemäus kannte, wenn

auch natürlich noch in der Form einesSehnensatzes. — <l . Sind ABC die Poleder Seiten des Dreieckes A'B'C', so istA‘ B = 90 0 = A' C, also auch A' Pol vonB C, etc., so dass die Polarität gegen-seitig ist. Ferner folgt 90° = DB |~a und90° = BE, also 180° = DE-f a = A'-(-a,etc., womit auch der zweite Teil des Satzeserwiesen ist. — Das Polardreieck scheintzuerst durch Snellius konstruiert nnd be-nutzt worden zu sein; es ist offenbar demPolardreikant (82) entsprechend.

§?. Die Rainiitrigoiioinetrie der alten Zeit. — Selbst-verständlich mussten Hipparch und seine Nachfolger, um aus denVon ihnen (61 u. f.) berechneten Tafeln den gehofften Nutzen zusieben, d. h. um gewisse Grössen aus andern berechnen zu können,a Uch die hiefiir nötigen Regeln aufstellen, und diess gelang ihnenz Unächst für das rechtwinklige Raumdreieck mit Hilfe, des Trans-Versalensatzes (86), indem ihnen derselbe eine Reihe von Propor-tionen oder sog. Analogien ergab, die nach unserer jetzigen Bezeich-nung und Schreibweise durch die FormelnCo c — Co a • Co b Si a = Si c • Si A Tg a = Si b • Tg A

Tg b = Tg c • Co A Co A = Co a • Si B Ct A = Co c • Tg B

Repräsentiert werden, in welchen c als die dem rechten Winkelgegenüberliegende Seite angenommen ist“. Da sie ferner ein schief-winkliges Kugeldreieck in zwei rechtwinklige zerlegen konnten, sofinden sie bald auch, dass man wenigstens gewisse Aufgaben ane rsterin durch wiederholte Anwendung jener Analogien ebenfallstosen könne 6 , während es ihnen nur ausnahmsweise gelang, dieRechnung im allgemeinen durchzuführen oder sog. Schlussformelna hfzustellen, so dass in dieser Beziehung wohl nur die durch die

Formeln Si a : Si b : Si c = Si A : Si B : Si C

Co a = Co b • Co c -j- Si b • Si c • Co A ~

hisgedrächten Sätze der altern Zeit zugeschrieben werden dürfen r .

5Eu SS 1 : n. Wie Hipparch , der wenigstens die zweite der Formeln 1kannte und (198—99) anwandte, vorging, weiss man nicht; dagegen ist sicher,( lass Menelaus in seinen „Sphaericorum libri III“ (welche Halley aus arabischenUnd hebräischen Übersetzungen soweit herzustellen wusste, dass sie aus seinemNachlasse „Oxonise 1758 in 8.“ erscheinen konnten) eine Beihe grundlegenderSätze aufstellte und dass er den als Regula sex quantitatum bezeichnetenTransversalensatz (86) [jedenfalls kannte, wahrscheinlich auch zur Ableitung