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— Einige Vorkenntnisse aus der Geometrie. —

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einiger trigonometrischer Grundbeziehungen benutzte. Letzteres geschah jeden-falls spätestens durch Ptotemäus und zwarin folgender Weise: Ist Dreieck AP>0 inC rechtwinklig und macht man A B' =90° = AC', so dass A Pol von B'C, so-mit B' = 90° = C' und B'C' = A ist, -"verlängert auch B C und B' C', bis siesich in P treffen , wodurch P zum P°i evon AC wird, — und schreibt endlich f>' rDreieck ABC und Transversale PC ' denmehrerwähnten Satz auf, so erhält manunmittelbar die erste der 1 , welche allerdings hei den Griechen noch nichtin dieser einfachen Form ansgedrückt, sondern in den Satz eingekleidet war:„Das Verhältnis der Sehne des doppelten Bogens AC 1 zur Sehne des doppd'ten Bogens CO 1 ist ans dein Verhältnisse der Sehne des doppelten Bogens BBzur Sehne des doppelten Bogens CP, und ans dem Verhältnisse der Sehnedes doppelten Bogens Ä B' zur Sehne des doppelten Bogens B B' zusammen-gesetzt“. In ähnlicher Weise erhält man die drei folgenden 1, indem manmit Ptolemäus den Dreiecken BPB', OPC' und AB'C 1 die Transversalen AC',AB' und PC giebt, — und endlich die zwei letzten 1, indem man 1" und 1für das rechtwinklige Dreieck BPB' aufschreibt. Diese zwei letztem erscheinenallerdings bei Piolemäus noch nicht, sondern erst bei dem im 11. Jahrhundertzu Sevilla lebenden (mit dem ebendaselbst um 763 verstorbenen ChcmikeiAbu-Mnssah-Djafar-al-Sofi, genannt Geber, nicht zu verwechselnden) AhnMnlmmined Dschäbir ihn Allah oder Geber, dessen durch Gherardo Cremoneseins Lateinische übersetzte und nachmals von P. Apian als Anhang zu seine 111„Instruinentum primi mobilis“ unter dem Titel „Gebri iilii Affla libri IX d eAstronomia. Norimberg® 1534 in fol.“ herausgegebene Schrift in ihrem erste 11

Buche eine bemerkenswerte A 11 'C leitung zur Trigonometrie ent-

hält. Besonders ist hervorzuhebe 11 ’dass sich Geber als Grundlage < lieaus den Gleichheiten Si BB' 25B B" = B B'" • Si A = Si A B ■ Si Aund Si C C' = C C“ = C C'" • Si A =Si A C • Si A hervorgehende,gula quatuor quantitatum genannteProportion

Si AB : Si AC = Si BB': Si CC' *ahleitete und durch Anwendung derselben auf die frühere Figur die sämt-lichen sechs 1 zu erhalten wusste. — b. S 1111 'z. B. b, c und A gegeben, so zieht man de®Ilauptkreisbogen x von C senkrecht zu A$>hat sodann nach den 1 und der FigurSi x = Si b • Si A ■ Tg y = Tg b ■ Co A 4z = c — y Co a = Co x ■ Co z

und kann somit successive die Ililfsgrös 36 "x, y, z, sowie schliesslich das Element a berechnen. — c. Da aus den 1 und 4

Si x — Si b • Si A

Si x = Si a ■ Si B

Tg y =-- Tg b • Co A

Co a =

Tgx =

Co x ■ Co (c -

Si y • Tg A

-y)