90 — Reform u. Erweiterung der Trigonometrie durch u. seit Euler . — 231

Dass diese Konstruktion theoretisch ganz richtig ist, lässt sich nun, ohne aufdie uns zu weit abführenden Betrachtungen von Boscovich einzugehen, infolgender Weise leicht zeigen: Man erhält nämlich aus der Figur einerseits•K) • Co <p — r • Co c und J 0 • Co i/j — r • (Jo a, also Co a : Co xp = Co c : Co (b — y),oder Co a • Tg xp — (Co a — Co a • Co h): Si h, und anderseits Co C — JE : KE —Co a • Tg y : Si a; es ist also Co C — (Co c — Co a • Co b): Si a • Si b, wie es nach1“ wirklich sein soll. —Vgl. auch die Notizen in 10t: a und 178: a. — b. DieFormeln 4‘ gehen mit Hilfe der 02:2 aus 1" leicht hervor, wobei für s auf60 : a verwiesen wird, — und die 4“ folgen aus ihnen mit Hilfe des Polar-dreieckes, dessen halber Umfang offenbar zum halben Excesse des ursprüng-lichen Dreieckes ebenfalls supplementär ist. — c. Die 6 werden leicht er-halten , indem man nach 1' und 4" in die zwei ersten der 62: 3 substituiertund etwas reduziert. Sie wurden fast gleichzeitig durch Delambre in derConn. d. teinps für 1808, — durch Mollweide, der überdies die entsprechendenFormeln für das ebene Dreieck gab, im Novemberheft 1808 der Mon. Corr., —und durch Gauss 1809 in seiner Theoria motus mitgeteilt, — doch immerhinso, dass ihnen der in Deutschland gebräuchliche Name der Gauss’schen Formelngerade am wenigsten zukömmt. — d. Die 8, welche uns z. B. in 009 guteDienste leisten werden, sind nach leichter Reduktion zu erhalten, indem manin 62: 3‘" die u und ß durch A und B, sowie rechts für Tg A den nach unsererletzten 3 gebildeten Wert Si B : (Ct a • Si c — Co c • Co B) einführt. — e. Diezwei ersten Formeln 9 ergeben sich, da e = % (A -1 - B + C — 180 °), also

Si e = — Co */ 2 (A -[- B + C) und Co e = Si y 2 (A + B + C) ist, mit Hilfe

von 62:3 und unserer 6 ohne Schwierigkeit, — die dritte folgt aus ihnenunter Beizug von 1“, — und die vierte endlich, welche man nach dem Zeug-nisse von Legendre Lhuilier verdankt, wird erhalten, indem man in Tg 2 */ 2 e(1 — Co e): (1 + Co e) für Co e den Wert einsetzt und 4‘ berücksichtigt. —f. Als Beispiel weiterer Entwicklungen gebe ich noch die folgende: Sind

M, 0, N drei Punkte eines grössten Kreisesund ist P irgend ein anderer Kugelpunkt, sohat man nach 1', 3‘ und der FigurSi u • Si« Si b • Si ASi v • Si « ~ Si a • Si BSi u • Co (/. Co b • Si c — Si b • Co c ■ Co A

Si v ■ Co « — Co a • Si c | - Si a • Co c • Co B

also durch Gleichsetzung der beiden Werte

Ct a ■ Si A | - Ct b • Si B — Ct c • Si C ISIn dem speciellen Falle, wo u — v ist, erhält man durch analoge Entwicklung

Si 2 u = Si 2 a 7 h Si a ■ Si b • Si ! ‘ /2 C 14

Tgc• Si(A — 2 C)=Si'■ 2 C• Tg( 2 ( a -b), Tgc-Co(A-V 2 C)=Coy 2 C-TgV 2 (a i b) 1 Äund so weiter.

91. Die Beziehungen zwischen (len beiden Trigono-metrien. — Der auffallend ähnliche Bau, welchen gewisse For-meln am sphärischen Dreiecke mit solchen am ebenen Dreieckezeigen«, hängt natürlich damit zusammen, dass ersteres, wenn derKugelradius im Verhältnisse zu seinen Seiten zunimmt, sich letztem

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